Действия групп на комплексных многообразиях и гипотеза о расширенной трубе будущего

• Автор: Чжоу Щань-Юй
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Российская Академия Наук
Ордена Ленина и ордена Октябрьской революции Математический институт имени В. А. Стеклова
На правах рукописи УДК
ЧЖОУ Щань-Юй Действия групп на комплексных многообразиях и гипотеза о расширенной трубе будущего
(01.01.03 - математическая физика)
Диссертация
на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва
\уЛ

ДЕЙСТВИЯ ГРУПП НА КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ГИПОТЕЗА О РАСШИРЕННОЙ ТРУБЕ БУДУЩЕГО
Щань-Юй Чжоу
Введение
Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава I. Теория пространств Штейна
1.1. Голоморфно отделимые комплексные пространства
1.2. Голоморфно полные комплексные пространства
1.3. Голоморфно выпуклые комплексные пространства
1.4. Пространства Штейна: определение и примеры
1.5. Пространства Штейна: теоретико-функциональные аспекты
1.6. Пространства Штейна: геометрические и топологические аспекты
1.7. Области голоморфности в С"
1.8. Некоторые классические задачи из теории пространств Штейна
Глава II. Многообразия Штейна с голоморфными группами
преобразований
2.1. Действия групп на многообразиях
2.2. Общие сведения о группах и алгебрах Ли
2.3. Однородные и симметрические пространства
2.4. Теорема о срезе
Часть II. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Глава III. Гипотеза о расширенной трубе будущего
3.1. Расширенная труба будущего
3.2. Гипотеза о расширенной трубе будущего и ее матричная формулировка
3.3. Ядро Бергмана и насыщенные области
3.4. Области Дайсона и теорема Баргмана-Холла-Уайтмана
3.5. Инвариантные области голоморфности и лемма Картана
3.6. Голоморная выпуклость 1-точечной расширенной трубы будущего
Typeset by Лд,'(5-ТеХ

3.7. Идея доказательства гипотезы о расширенной трубе будущего
3.8. Связь с моментным отображением
Глава IV. Дествия компактных групп на комплексных много
образиях
4.1. Инвариантные области на однородных комплексных про
странствах вида Kc/Lc
4.2. Орбитальная связность, орбитальная выпуклость и обо
лочки голоморфности
4.3. Орбитальная выпуклость областей голоморфности, инва
риантных относительно линейных действий торов
Часть III. ПОДРОБНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ
Глава V. Доказательство гипотезы о расширенной трубе бу
дущего
5.1. Некоторые подготовительные результаты
5.2. Некоторые свойства расширенной матричной полуплос
кости
5.3. Доказательство основной теоремы
5.4. Следствия из гипотезы о расширенной трубе будущего
Глава VI. Доказательство теоремы об инвариантных областях
в Kc/Lc
6.1. Предварительные сведения
6.2. Доказательство теоремы
6.3. Доказательство теоремы
Глава VII. Доказательства результатов об однолистных обо
лочках голоморфности
7.1. Предварительные сведения
7.2. Доказательство основного результата
7.3. Некоторые следствия
7.4. Области, инвариантные относительно действия окруж
ности
Г лава VIII. Доказательства результатов об областях голоморф
ности, инвариантных относительно действий торов
8.1. Предварительные сведения
8.2. Доказательство основных результатов
8.3. Некоторые следствия
Список Литературы

Еще один математический аргумент в пользу гипотезы о расширенной трубе будущего. В отличие от Л-точечной трубы будущего т+, расширенная труба будущего т'м содержит много вещественных точек, то есть точек ИЗ т]уПМ4ЛГ. Точки из этого множества называются точками Иоста и имеют важный физический смысл (см. [31,37]). Имеет место следующая теорема.
Теорема Стритера (см. [31,37]). Любая функция, голоморфная на об-ласти Дайсона тити7, где 7 := ТдгПМ47У есть множество точек Иоста, может быть продолжена до функции, голоморфной на расширенной трубе будущего Тм-
Снова возникает естественная задача о построении оболочки голоморфности области Дайсона и и 7 (этот вопрос упомянут, например, в статье ’’Квантовая теория поля” в ’’Математической энциклопедии”). Если гипотеза о расширенной трубе будущего верна, то эта оболочка в точности совпадает с расширенной трубой будущего т'м-
3.5. Инвариантные оболочки голоморфности и лемма Картана.
В этом параграфе мы рассматриваем гипотезу о расширенной трубе будущего с точки зрения общей теории действий групп на многообразиях Штейна.
Рассмотрим следующий вопрос: пусть X - многообразие Штейна и Сс -связная комплексная редуктивная группа Ли, голоморфно действующая на X. Обозначим через Ом связную вещественную форму группы Ос- Допустим, что И С X есть вр;-инвариантная орбитально связная область Штейна. Верно ли, что область Лг Л штейнова?
Заметим, что гипотеза о расширенной трубе будущего является частным случай этого общего вопроса.
Нам кажется, что до нас никто не отмечал связи между сформулированным вопросом и принципом минимума, хотя эта связь выглядит довольно естественной.
В частности, из работ Леба [150], [151], посвященных принципу минимума, вытекает следующий результат: ответ на поставленный выше вопрос положительный, если (Сс,(7к) образуют псевдовыпуклую пару, то есть на группе С?с существует Лк-инвариантная плюрисубгармоническая функция, которая является функцией исчерпания на Л<с/Лк. В частности, это условие выполнено, если вещественная форма Лк компактна или нильпотентна.
Допустим, что (Ос, Лк) образуют псевдовыпуклую пару, и покажем, как получить отсюда ответ на поставленный выше вопрос. Рассмотрим отображение действия X х Ос X, (д, у) д~1г, и обозначим через 12 прообраз области 7) при отображении р, О := р_1(Л). Пусть, далее, р : X х Ос —> X обозначает естественную проекцию на первый сомножитель. Заметим, что слои проекции р : Л —> р(Щ связны <=> область Л орбитально связна. Поэтому из принципа минимума Леба следует, что область р(£1) штейнова. Но р(С1) в точности равно Л с Л, поэтому область Ос Л штейнова.
Проф. А.Г.Сергеев предложил другой способ доказательства, основанный на инвариантной версии леммы Картана: если А есть Лк-инвариантное аналитическое подмножество в области Ли/- Лк-инвариантная аналитическая функция на А, то ее можно продолжить до функции Л, голоморфной и Ле-