Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для двухкомпонентного уравнения типа Хартри

• Автор: Смирнова, Екатерина Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Задача Коши для уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредо-точенных функций

1 Постановка задачи и обозначения

2 Класс траекторно-сосредоточенных функций

3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста

3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных по Вейлю операторов

3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка

3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий

4 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера

5 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера

6 Счетный набор решений уравнения типа Хартри (тоб О (Л3/2))
Глава 2. Задача Коши для двухкомионентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций
7 Постановка задачи и обозначения
8 Класс траекторно-сосредоточенных двухкомпонентных функций
9 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста
9.1 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий
10 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера
11 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера
12 Решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа Хартри (тоб О(02))
13 Квазиклассически сосредоточенные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри (высшие приближения) (тоб Ь^+1^2)
Глава 3. Квазиклассические спектральные серии нелинейного двухкомионентного оператора Хартри, отвечающие точке покоя классической системы
14 Постановка задачи
15 Конструкция траекторно-когерентных состояний нестационарного уравнения типа Хартри
16 Квантование устойчивых точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста
17 Квазиклассические спектральные серии для двухкомпонентного уравнения типа Хартри во внешнем поле с трансляционно-инвариантным потенциалом самодей-ствия
•Глава 4. Солитоноподобные решения двухкомионентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций
18 Постановка задачи
19 Квазиклассические солитоны двухкомионентного уравнения типа Хартри в отсутствие внешнего поля
20 Автомодельные солитоны двухкомионентного уравнения типа Хартри
21 Флоке-решения двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри
22 Квазиэнергетические спектральные серии оператора типа Хартри (тоб й3/2)
Заключение
Приложение А. Система в вариациях

Приложение В. Многомерные полиномы Эрмита Список литературы
Введение
Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов. Примерами широко известных нелинейных систем являются двухкомпонентный бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) [1] (см. также [2]), реакционно-диффузионные (РД) системы [3,4] (см. также обзор [5]). Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами удается осуществить сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математической теории.
Метод обратной задачи рассеяния позволяет найти точные аналитические решения для нестационарного одномерного однокомпонентного нелинейного уравнения Шрёдин-гера (НУШ) в отсутствие внешнего поля [6-10]. Данный метод сводит задачу Коши для исходного нелинейного уравнения в классе функций, локализованных в некоторой области пространства, к решению линейного интегрального уравнения. Более глубокое понимание интегрируемости уравнения дает теоретико-полевое представление, в рамках которого НУШ преобразуется к вполне интегрируемым гамильтоновым системам. Процедура интегрируемости представляет собой переход к переменным «действие -угол» [7,8]. В рамках теории солитонов показано, что пространственно локализованное начальное состояние поля при выполнении определенных пороговых условий в процессе эволюции трансформируется к солитонному виду.
При наличии в НУШ малых дополнительных членов, позволяющих описывать динамику солитонов под действием внешних сил и полей, нарушается точное интегрирование. В этом случае решение удаётся построить лишь приближённо методами теории возмущения солитонов в предположении о малости поля [11,12]. В данной теории предполагается, что основной вклад в приближённое решение имеет форму солито-на, параметры которого медленно эволюционируют под влиянием малых возмущений. Теория возмущений позволяет строить высшие приближения, описывающие искажение формы солитона. Возможности теории возмущений ограничены предположением о малости внешних воздействий и, кроме того, тем, что невозмущённое уравнение является точно интегрируемым (1 + 1)-мерным солитонным уравнением, что не позволяет перейти к многомерной динамике. Также следует отметить, что для нелинейных уравнений простые разложения решений в степенной ряд по малому асимптотическому параметру описывают лишь линейное приближение рассматриваемой нелинейной модели и не позволяют учесть существенно нелинейные эффекты. Такие решения применимы в ограниченной области параметров и переменных модели [11]. Математическая теория таких уравнений развита для задачи Коши в [13-24].
Систематическим способом нахождения семейств частных решений уравнений РД-типа является симметрнйный анализ дифференциальных уравнений [25-27]. В работах [28,29] проведена классификация (1 + 1)-мерных двухкомпонентных систем РД-типа с симметриями и найдены частные решения, определяемые симметриями. Аналогичное исследование проводилось в [30], где частные решения находились с помощью нели-евских симметрий. Но для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений мето-

Решения этой системы для интересующих нас случаев будут построены в следующих разделах.
4 Задача Коши для параметрического семейства
линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера
Центральным моментом в методе построения решений уравнения (2.16) является линеаризация (с любой степенью точности по параметру Й —> 0) уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций. Существенную роль при этом играет 0^(£, Й, <£^) — общее решение системы Гамильтона-Эренфеста порядка М. Обозначим
а[ф](*,й) = р^-щ2<Ф(^й)|0|Ф(*,й)) (4.1)
и разложим “ядро” оператора Г[Ф](4) в ряд Тейлора по степеням операторов Дш =
й) — г[Ф](1, Й):
= х (4л

где остаточный член — оператор Ллг+1 = Ду+Цз, 2[Ф](1, й), Дгглг+1) на функциях Ф £ VI — допускает следующую оценку по Й —¥ 0:
Ф(ж) [ Ъу,1)км+1Ъ(уА)с1у

= 0(Й(ЛГ+1)/2). (4.3)
ь2( к;)
Подставив разложение (4.2) в уравнение (1.1), на функциях Ф £ ^ с учетом оценки (4.3) получим
£(")[ф](^ф= |-іПді + Н(2,ґ)+

а! ди)а 1ш=г[Ф](<д>
" 1 9Ну(г,гМ)| да[ф](*,й)1ф = 0(Й<2). (4.4)
^ а дгиа 1 д к 1 у

Рассмотрим семейство вспомогательных уравнений
1т^ <г(*))ф = 0{км+1)/2), (4.5)
1^і, £<*>) = -іПді + Н(2, Ь) + я Д<Л'1((, Гг, €т),
у к ' 4^ а! дша |№=д(")(1,й,с(л')) “
Iа 1=о
(4.6)
которое получается из (4.4) заменой “квантовых” моментов 0[Ф](і, Й) до ІУ-го порядка включительно, вычисленных на решении Ф(ж, і,й) Є Рд, на соответствующие решения 0^(1, й, С^) системы Гамильтона-Эренфеста порядка N. Система уравнений (4.5) параметризована набором постоянных (Е^, которые определяют траекторию 0^(£, Й, (Е^). Мы покажем, что при специальном выборе параметров асимптотические решения