Эллиптические солитоны интегрируемых нелинейных уравнений

• Автор: Смирнов, Александр Олегович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 170 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Конечнозониые решения интегрируемых нелинейных уравнений

1.1. Конечнозонные решения уравнений Кадомцева-Петвиашвили, Кортевега-де Фриза и Буссинеска
1.2. Конечнозонные решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза

1.3. Конечнозонные решения уравнений, связанных с уравнением 8те-Согс1оп

1.4. Конечнозонные решения уравнения цепочки Тода.

1.5. Конечнозонные решения и выбор локального параметра

1.5.1. Уравнение Кадомцева-Петвиашвилн

1.5.2. Уравнение Кортевега-де Фриза

1.5.3. Уравнение Буссинеска

1.5.4. Нелинейное уравнение Шредингера
1.5.5. Уравнения, связанные с уравнением вше-Согскт
Глава 2. Накрытие над тором и редукция тэта-функций
2.1. Основная теорема
2.2. Двухзонные эллиптические решения интегрируемых нелинейных уравнений
2.2.1. Уравнение Кортевега-де Фриза
2.2.2. Уравнение Буссинеска
2.2.3. Нелинейное уравнение Шредингера
2.2.4. Уравнение Бше-Согбоп
Глава 3. Эллиптические решения уравнения Кортевега-де Фриза •3.1. Эллиптические по х решения уравнения КдФ
3.1.1. Кривые Кричевера для уравнения КдФ
3.1.2. Потенциалы Ламе и Требиха-Вердье
3.1.3. Конечнозонпые эллиптические потенциалы второго типа
3.1.4. Динамика полюсов двухзонных эллиптических решений уравнения

3.2. Эллиптические по I решения уравнения КдФ
3.2.1. Анзац I
3.2.2. Однопараметрические семейства решений. Анзац II
3.3. Уравнение Гойна
3.3.1. Уравнения Гойна, Даме и Требиха-Вердье

3.3.2. Конечнозонные решения уравнения Гойна
3.3.3. Группа монодромии уравнения Гойна. Конечнозонный случай
Глава 4. Эллиптические решения уравнений Кадомцева-Петвиашвили и
Буссинеска
4.1. Эллиптические по х решения уравнений КП и Буссинеска
4.1.1. Эллиптические по ж решения уравнения КП
4.1.2. Эллиптические по х решения уравнения Буссинеска. Случай д^
4.1.3. Эллиптические по х решения уравнения Буссинеска. Общий случай.
Анзац Кричевера-Эрмита
4.2. Эллиптические по t решения уравнения КП
4.2.1. Анзац I
4.2.2. Однопараметрическое семейство решений. Анзац II
4.3. Эллиптические по у решения уравнения КП
4.3.1. Анзац I
4.3.2. Однопараметрическое семейство решений. Анзац II
Глава 5. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и
модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза
5.1. Эллиптические по х решения уравнений НШ и МКдФ
5.1.1. Анзац I
5.1.2. Анзац II
5.2. Эллиптические конечнозонные потенциалы оператора Дирака
5.2.1. Анзац Кричевера-Эрмита для оператора Дирака
5.2.2. Эллиптические мероморфные потенциалы оператора Дирака
5.2.3. Динамика полюсов конечнозонных эллиптических решений
уравнения Н1Л
■5.3. Эллиптические по I решения уравнения НШ
5.3.1. Анзац I
5.3.2. Однопараметрические семейства решений. Анзац II
5.3.3. Особый случай. Анзац III
5.3.4. Однопараметрические семейства, решений. Особый случай. Анзац IV
Глава 6. Эллиптические решения уравнений, связанных с уравнением
Бте-Согбоп
6.1. Эллиптические решения уравнений эте-Согбоп и этЬ-Согбоп
6.1.1. Анзац I
6.1.2. Анзац II
6.2. Эллиптические решения уравнений Бте-БарДсе, 8ш11-Ьар1асе I и 81пЬ-Ьар1асе II
6.2.1. Анзац Г
6.2.2. Анзац II'
Глава 7. Периодические решения уравнения цепочки Тода
7.1. Периодические по п решения уравнения цепочки Года
7.2. Эллиптические по 1 решения уравнения цепочки Тода

Приложение А. Эллиптические конечнозонные потенциалы оператора
Шредингера
АЛ. Канонические спектральные поверхности потенциалов Ламе и
Требиха-Вердье (rrij ^ 3)
А.2. Кривые Кричевера для потенциалов Ламе и Требиха-Вердье (п Sj 10)
А.З. Эллиптические потенциалы второго типа (п 5С 10)
Список литературы

Доказательство следует из законов преобразования функции Н(г) при сдвиге на периоды тора:
(2.1.14а) Н(г + 2ш) = ехр{— 2тп (Д1 — Д2, Р)}Н(г),
(2.1.14Ь) Н(г + 2о/) = ехр{27п {Д1 — Д2, Б)}Н(г),
и соотношений (2.1.6), (2.1.8), (2.1.10), (2.1.11). □
Следствие 2.3. В условиях теоремы 2.1 функция
(2.1.15) ЯДг) = -д2Лп&{и12 + Д|Д)
является эллиптической функцией, имеющей на торе Го п полюсов второго порядка ^ = 2wZj + ш + о/),
(2.1.16) II; (г) ^2 р. г - Д} - .

Доказательство следует из соотношений (2.1.6), (2.1.8), (2.1.10), (2.1.11) и свойств эллиптических функций. □
2.2. Двухзонные эллиптические решения интегрируемых нелинейных
уравнений
2.2.1. Уравнение Кортевега-де Фриза. Поскольку периодичность конечнозонного решения любого интегрируемого нелинейного уравнения по какой-либо переменной зависит от пропорциональности вектора периодов соответствующего абелева дифференциала вектору периодов решетки, рассмотрим вектора 6-перио-дов абелевых дифференциалов второго рода сШ1 и <П?з.
Лемма 2.1. На любой ГП Г рода д > 1 вектора Ь-периодов абелевых дифференциалов (Шт и (Шз линейно независимы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть вектора 6-периодов абелевых дифференциалов <Ю и сШз линейно зависимы, т.е. пусть для некоторых а,/3 ф 0 выполняется равенство
(2.2.1) аи + РУ2 = 0.
Из (2.2.1) следует, что на Г существует мероморфная функция
ДД) = аД1(Д)+/Д2 з(Я)
с единственным полюсом третьего порядка в точке ветвления гиперэллиптической поверхности. Однако хорошо известно [125], [132], что на ГП рода д не существует мероморфной функции с единственным полюсом порядка 2у — 1 (у < д) в точке ветвления. Противоречие. Следовательно, вектора II и линейно независимы.

СЛЕДСТВИЕ 2.4. По любой ГП (1.1.14) рода 2 можно (после соответствующих преобразований) построить периодическое по 1 решение и(х,б) уравнения