Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос

• Автор: Левашова, Наталия Тимуровна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с. : ил.

ГЛАВА I. О СИСТЕМЕ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-ПЕРЕНОС
В СЛУЧАЕ МАЛОЙ ДИФФУЗИИ И БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ
§1. Постановка задачи
§2. Построение асимптотики решения
2.1. Главные члены асимптотики
2.2. Асимптотика первого порядка
2.3. Сглаживание негладких регулярных членов асимптотики
2.4. Угловые пограничные функции
2.5. Погранслой в окрестности х
§3. Оценка остаточного члена
Глава II. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ
§ 1. Постановка задачи
§2. Построение асимптотики решения
2.1. Регулярные члены асимптотики
2.2. Погранслой в окрестности начального момента времени
2.3. Погранслой в окрестности грани {ж=0, 0<з/<1,0<2<Г}
2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х = 0, 0<у<1, 2=0}
2.5. Вспомогательные члены асимптотики
2.6. Погранслой в окрестности грани {х= 1, 0< у< 1, 0 < 2< Т}
§3. Оценка остаточных членов асимптотики
§4. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня
ГЛАВА III. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ В СЛУЧАЕ БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ ВО ВТОРОМ

УРАВНЕНИИ
§1. Постановка задачи
§2. Построение асимптотики решения
2.1. Регулярные члены асимптотики
2.2. Погранслой в окрестности начального момента времени
2.3. Погранслой в окрестности грани {ж= 0, 0 < у< 1, 0< Т}
2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х= 0, 0 < у< 1, 4 = 0}
2.5. Вспомогательные члены асимптотики
2.6. Погранслой в окрестности грани {ж= 1. 0 < у< 1, 0<і< Т}
§3. Оценка остаточных членов асимптотики
3.1. Асимптотика первого порядка
3.2. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня
§4. Дополнение к главе Ш. Доказательство леммы из п. 2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Теория сингулярных возмущений даёт эффективные методы решения многих задач математической физики. Разработка этой теории была начата в трудах А.Н. Тихонова [1], [2], [3]. В настоящее время существует большое разнообразие методов исследования сингулярно-возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [4], [5], [6], метод усреднения [7], [8], метод регуляризации сингулярных возмущений [9], методы теории релаксационных колебаний [10], [11] метод сращивания асимптотических разложений [12], методы типа ВКБ [13] и другие. Вместе с тем, прикладные задачи приводят к необходимости рассмотрения новых классов сингулярно-возмущенных задач и модификации известных методов.
Диссертация посвящена исследованию асимтотического поведения решений систем нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений. Такие системы возникают при математическом моделировании в задачах химической кинетики, при изучении процессов тепло- и массопереноса в тонких телах и во многих других прикладных задачах. Физическая природа малых параметров, входящих в уравнения, может быть различной. Это могут быть: малые коэффициенты диффузии; малые величины, обратные константам скоростей быстрых реакций в задачах химической кинетики; отношение характерных размеров в поперечном и продольном направлениях при изучении процессов в тонких телах и т. д. Во многих задачах возникает не один, а несколько малых параметров, либо различные степени одного малого параметра. Разнообразие возможных вариантов вхождения малого параметра в уравнения системы весьма велико. Задача состоит в том, чтобы выделить какие-то классы уравнений, допускающие применение тех или иных асимптотических методов. В настоящей работе рассмотрены два класса систем, к которым удается применить с определёнными модификациями метод пограничных функций [4]. Первый класс систем характерен для задач химической кинетики (он рассмотрен в главе I), второй — как для описания химических процессов, так и для задач тепло- и массопереноса в тонких телах (главы II и III). Результаты, представленные в диссертации, обобщают на случай систем уравнений теоремы об асимптотическом поведении решений, доказанные ранее для скалярных задач [14], [15]. В случае систем уравнений усложняется как сам алгоритм построения асимптотических разложений для компонент решения, так и обоснование построенной асимптотики. Доказательство существования решения и оценка остаточных членов асимптотики для системы уравнений - гораздо более сложная проблема, чем для скалярного уравнения. В задачах, рассмотренных в диссертации, удалось решить эту

(2.23), получим задачу для определения функции а2 откуда она может быть найдена в явном виде.
Функцию П2»(ж,у,т) - решение задачи (2.13)-можно представить в виде П2г> (ж, у, т) = ег2 (х, т) + П2и (х, у, т), где <т2 (ж,г) - произвольная функция, а fl2v - частное решение (2.13):
П2г> = i у2 + й/ет,, (ж, г) = Ву0 (ж) (у - г/2) ехр (-25-т).
Уравнение для функции а2(х,т) получается из условия разрешимости задачи для П4и (ж, у, г) и имеет вид:
да,,
+ 2Ва2 = р2 (ж, у, т), (2.24)
где g2 - известная функция.
Начальное условие для уравнения (2.24) получается при решении задачи (2.21) для функции T2v(x,y,s).
Решая задачу (2.21) методом Фурье, находим:

T2v (ж, y,s) = f2v + J2 к (®,«) cos (71%).

Здесь T2v - известная функция, удовлетворяющая краевым условиям при } = 0 и ц = 1 и имеющая экспоненциальную оценку типа (2.18), a t2k (x,s) суть решения задач
^J- + K2k%t=Gk(x,s); t2k (ж, 0) = Wk (ж), = 0,1
где Gk (ж, s) - коэффициенты Фурье разложения функции
6T.v d%v
2— +—здв ' дуг
по сов(пку) (они имеют оценку типа (2.18)), 'РдАж) при к — 1,2,... суть коэффициенты Фурье разложения функции
(®, У) = Г2 0> у) ~ П2у (ж, у, 0) - (ж, у, 0),

'Р0(®) = <У2(х,у)<1у - <т2(х,0). (2.25)

Решая эти задачи, получаем: