Дзета-функции и их приложение к решению некоторых задач математической физики

• Автор: Кисунько, Александр Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Некоторые дзета-функции, возникающие в связи с задачами математической физики и эффективные потенциалы
Глава 2. Дзета-функция Эпштейна-Бернса и некоторые их свойства
Глава 3. Фазовая структура модели Гросса-Неве с учетом влияния температуры и конечного объема
Глава 4. Расчет эффективного потенциала, порождаемого нетривиальной топологией типа Тх1С
Глава 5. Рассеяние упругих волн на планарных периодических структурах в анизотропных средах начальными напряжениями
Приложение
Приложение
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена решению задач математической и теоретической физики на основе унифицированной процедуры использования обобщенных дзета-функций. Необходимость такого рассмотрения связана, с одной стороны, с развитием компьютерных методов расчета различных задач математической физики, а с другой стороны - бурным развитием решеточных теорий поля. Другое применение обобщенных дзета-функций в задачах математической и теоретической физики обуславливается все возрастающим интересом к рассмотрению задач на нетривиальных топологических структурах для получения не локальных свойств решений уравнений математической физики, а глобальных. По-видимому, исторически этот подход в одномерном случае восходит к Леонарду Эйлеру и Бернгарду Риману. Затем, в силу исторически сложившихся причин, решение задач математической физики, ввиду трудности нахождения точных решений, в значительной мере было сосредоточено на изучении локальных свойств решений. Однако, вследствие работ Пуанкаре по теории гиперэллиптических функций и в связи с дифференциальными уравнениями нетривиальной топологической структуры стало ясно, что для полного решения задач математической физики существенны теоретико-числовые свойства обобщенных дзета-функций. С другой стороны, еще один нетривиальный вопрос связан с так называемыми асимптотическими рядами теории возмущений, которые возникают при рассмотрении простейших задач одномерной квантовой механики. Полное решение этой задачи связано с построением так называемой топологической теории возмущений, предложенной А.С.Вшивцевым и
В.Н.Сорокиным в работе [1] и продолженной в других многочисленных работах (см., например, работы [2], [3]). Топологическая теория

возмущений фактически основывается на глобальном характере поведения решения данного дифференциального уравнения. С третьей стороны,
Н.С.Кошляков в работе [4] , написанной, как известно, в лагере, под псевдонимом Н.С.Сергеев, проводит замечательное исследование функционального уравнения Римана, навеянное уравнением теплопроводности. В этом исследовании вводятся и изучаются функции, обобщающие функцию гамма, полиномы Бернулли и т.п. В качестве функции, обобщающей дзета-функцию Римана, Н.С.Кошляков рассматривает ряд Дирихле:
Исторически, первой была введена дзета-функция Римана (известная еще Эйлеру):
Для дзета-функции Римана доказано аналитическое продолжение, функциональное уравнение и множество соотношений, эквивалентных функциональному уравнению. Основные факты, относящиеся к дзета-функции Римана приведены в монографии Титчмарша [5]. После классической работы Римана появился ряд исследований Гурвица, Лерча, Аппеля, Стилтьеса, Э.Ландау , Гамбургера, Н.С.Кошлякова и др., посвященных различным обобщениям дзета-функции Римана и их
где А
основную роль в аналитической теории распространения тепла:
р эт л/1 + 1 соб пХ = 0, р>0.

с(5)= XIй где

аспект данных моделей определяет интерес к ним физиков, занимающихся элементарными частицами и проблемами физики высоких энергий, в частности моделями адронов, поскольку при этом вырабатывается интуиция, которую трудно получить иными методами. Заметим, что основной акцент в исследовании этих простейших теоретико-полевых моделей был сделан на изучении их свойств при изменении размерности пространства-времени, а также решение проблемы перенормируемости . Кроме того проводились исследования по учету конечной температуры и некоторых типов внешних полей [47].
Вместе с тем существует еще один аспект - исследование влияния топологии пространства на свойства моделей такого рода - этот факт отмечался еще в работах [47, 48, 49]. При этом рассмотрение даже простейшего двумерного варианта теории с различными граничными условиями оказывается весьма интересным с физической точки зрения, так как мы имеем топологию тора, а различные граничные условия либо соответствуют учету конечного объема системы, либо позволяют ввести температуру.
В настоящей главе (и следующей) основной задачей является описание общей процедуры, развитой в работах [102, 104], нахождения
термодинамического и эффективного потенциалов, необходимых для исследования широкого класса свойств упомянутых выше систем, с учетом различных простейших топологий пространства. Предлагаемый подход основан на вычислении и использовании теоретико-числовых свойств, впервые полученных в работах [102, 104] , дзета-функции Римана-Эпштейна, которая позволяет учитывать различные топологии. Представлен ряд точных функциональных соотношений для дзета-функции, которые охватывают все типы граничных условий. Заметим, что эти соотношения распространены нами пока только на двумерную решетку и дают обобщение таких хорошо известных в физике твердого