Некоторые свойства квантовых периодических систем в магнитном поле

• Автор: Панкрашкин, Константин Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил

Оглавление
Введение
Часть 1. Асимптотика спектра двумерного оператора Шредингера с периодическим потенциалом и сильным однородным магнитным полем
Глава 1. Классическая заряженная частица в однородном магнитном поле
1.1. Некоторые понятия классической механики
1.2. Методы осреднения
1.3. Инвариантные многообразия осредненного гамильтониана
1.4. Примеры
Глава 2. Сведения из теории канонического оператора
2.1. Принцип соответствия
2.2. Метод вещественного канонического оператора
2.3. Метод осцилляторного приближения
2.4. Квазимоды, соответствующие инвариантным замкнутым кривым
Глава 3. Квазиклассические спектральные серии для магнитного оператора
Шредингера
3.1. Спектральные серии, отвечающие точкам покоя
3.2. Спектральные серии, отвечающие замкнутым кривым. Левая граница (нижние уровни)
3.3. Спектральные серии, отвечающие замкнутым кривым. Внешние границы
3.4. Спектральные серии, отвечающие инвариантным торам
3.5. Спектральные серии, отвечающие инвариантным цилиндрам
3.6. Спектральные серии, отвечающие незамкнутым кривым
3.7. Высшие приближения
3.8. Общая структура спектра
3.9. Уравнения типа Харпера
Глава 4. Асимптотика зонного спектра
4.1. Магнитно-блоховские условия
4.2. Магнитно-блоховские квазимоды в режимах финитного движения

4.3. Магнитно-блоховские квазимоды в режимах инфинитного движения
4.4. Разделение зон
Часть 2. Локальные магнитные операторы Шредингера с периодическими точечными возмущениями
Глава 5. Локальность в смысле квадратичных форм для периодических
точечных взаимодействий
5.1. Предварительные сведения
5.2. Построение квадратичной формы для точечного возмущения
5.3. Доказательство локальности квадратичной формы
5.4. Связь с граничными условиями
Список литературы
Введение
В настоящей работе исследуются некоторые свойства операторов Шредингера с периодическим магнитным и электрическим полем. Такие операторы имеют вид
й=^{Ь-1л(х)У+пХ}’ (0'1,
где А — векторный потенциал магнитного поля, V — потенциал электрического поля, а Н, т, е и с — известные физические константы. Периодичность магнитного и электрического поля означает, что форма В = й(А|йаг) и потенциал V периодичны относительно некоторой решетки Г. В двумерной ситуации форму В удобно отождествлять с функцией В{х) = діА2 — 52АЬ а в трехмерной — с вектор-функцией В{х) = V х А{х).
Интерес к операторам такого вида неуклонно растет в последние годы. Этот интерес связан прежде всего с тем, что операторы подобного вида являются квантовыми гамильтонианами зараженной частицы в различного рода периодических квантовых системах, например, в кристаллах, периодических массивах квантовых точек и антиточек [3], и исследование спектральных свойств таких операторов связано с теоретическим объяснением ряда важных эффектов, в частности, квантового эффект Холла, эффектов Шубникова-де Гааза, и де Гааза-ван Алфвена, осцилляций Ааронова-Бома. Структура спектра оператора Я достаточно сложна и до сих пор полностью не исследована. Известно, что спектральные свойства оператора Н существенно зависят от чисел

Пи = 2пПс . ’

где Гу — двумерные грани элементарной ячейки решетки Г.
В случае, когда все числа г]„ (имеющие смысл квантов потока магнитного поля через грани элементарной ячейки решетки периодов) равны нулю (это означает, что функцию А можно выбрать также периодичной относительно той же решетки Г), исследование спектра оператора Н может быть проведено с помощью стандартной блоховской теории, поскольку оператор Н коммутирует с операторами сдвигов вдоль векторов решетки. Как известно, при некоторых требованиях регулярности А и V спектр в данном случае имеет зонную структуру и абсолютно непрерывен [14,85,86].

Рис. 1.5. Переменная действия и нумерация для замкнутых траекторий
Рис. 1.6. Переменная действия и нумерация для незамкнутых траекторий
1.3.3. Переменная действия на торе. Рассмотрим некоторое ребро £г графа Риба 1). Каждой точке є є £г поставим в соответствие число 32{Е,Зі,є) (или ад), определяемое следующим образом. Пусть У(і,Е,є) — соответствующая траектория, лежащая на уровне энергии Зі = Е, и Т — ее период. Пусть У(г, Е, є) — соответствующая траектория на плоскости; положим
Поскольку введенное определение переменной действия отличается от стандартного определения действия для интегрируемых систем, необходимо заметить, что именно выражение (1.29) будет удобно для дальнейшего применения к вычислению квазиклассической спектральной асимптотики.
Переменная 32 допускает достаточно простую геометрическую интерпретацию. Для стягиваемых траекторий на торе (и замкнутых траекторий на плоскости), эта интерпретация стандартна: число 27г32 есть ориентированная площадь области, ограниченной траекторией, см. рис. 1.5. Легко видеть, что 32 = 0 для точек экстремума. Также понятно, что при фиксированных 3 и є, величина 32 есть возрастающая функция Е. Будем требовать, чтобы семейство траекторий, отвечающих одному и тому же ребру графа Риба и номеру I, зависело от 32 непрерывно.
Для нестягиваемых траекторий на торе (и незамкнутых траекторий на плоскости), переменная 32 имеет другую интерпретацию. Обозначим через Ьа прямую, заданную уравнением Ьа — {к(с1 - а), к Є К}, где (1 = ё(31,є) — соответствующий вектор дрейфа. Зафиксируем т Є К и обозначим через 7г(т) и 7г(т + Т) ортогональные проекции точек У(т) и У(т + Т) на Ьа (здесь Т обозначает период траектории
3Г2{Е,3і,є) := У1(т,Е,є)<іУ2{т,Е,є)

■ а) 1 - • аШ- а)2. (1.29)