Слияние свободных границ в задаче Стефана и задаче Стефана-Гиббса-Томсона

• Автор: Руднев, Вадим Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Глава
Обычно под задачей со свободной границей понимают задачу, в которой требуется дать динамическое описание некоторой среды, которая может находится либо в одной, либо в двух различных фазах (например, лед и вода). Свободной границей, как правило, называют поверхность раздела фаз между областями, занимаемыми различными фазами. В случае же однофазной задачи, понятно, что свободной границей является граница области, занимаемой рассматриваемой средой. Свободная граница перемещается (эволюционирует) со временем и ее позиция априори неизвестна. Такого рода задачи имеют глубокое прикладное значение во многих областях науки, не только в физике [52, 53], но также и в финансовой математике [61].
Первая математическая модель процессов, связанных со свободной границей была предложена Стефаном. В этой задаче требуется решить уравнение теплопроводности для температуры в каждой из областей с различными фазами

^ = ^(к±(х,г)ув±), теП = П-иП+, *>0, (1.1)

которое дополнено специальными условиями на свободной границе Гр

*Чг. = *1г.=°. (1-2)

= -2К, (1.3)

а также начальными и граничными условиями (последние на внешней границе области Г2). В задаче (1.1)—(1.3) мы обозначили П С К" - область, которую занимает рассматриваемая среда, П* - подобласти Г2, разделенные Г4, в± = 0±(х, б) - температура среды, соответственно, в областях

fif, A* = const > 0 - коэффициенты температуропроводности фаз "+" и ", v - нормаль (в направлении из фазы " в фазу "+") к поверхности Г*, Vv - нормальная скорость точек свободной границы, и

r~L{k+{x’^e+)
g-(k (x,t),9 )
Условие (1.3) называется условием Стефана.
Задача (1.1)—(1.3), названная классической задачей Стефана, является существенно нелинейной, и интенсивно исследовалась как физиками, так и математиками (см. [53]). В частности, утверждалось, что условие (1.2) слишком грубое, т.к. в реальной среде температура в разных точках свободной границы Гг может быть различной. Кроме того, было установлено, что значения температуры зависят от геометрии поверхности свободной границы.
В связи с вышесказанным, физиками была предложена более адекватная модель, которую назвали модифицированной задачей Стефана или задачей Стефана-Гиббса-Томсона (задача с кинетическим переохлаждением). Усовершенствование заключалось в замене условия (1.2) на так называемое условие Гиббса-Томсона
<9±|Г( =х1У„ + х2К, (1.4)
где К, - средняя кривизна поверхности Г(, и х2 - некоторые постоянные, физический смысл которых характеризует влияние поверхностного натяжения.
Однако, понятно, что ни классическая, ни модифицированная задачи Стефана не описывают все множество процессов, связанных со свободной границей: существует ряд физических ситуаций, в которых эволюция свободной границы описывается другими законами (Муллинс-Секерка, (МиШпз-Бекегка), Хеле- Шоу (Нек-БЬауг) и др.). Более того, детальные физические исследования показали, что в действительности не существует четкой границы между фазами, а наблюдается скорее тонкий пограничный слой, в котором вещество находится в промежуточном состоянии. Микроскопическое описание процессов в пограничном слое дает теория фазовых переходов Гинзбурга-Ландау (см., например, [47]). На основе этой теории были разработаны как очень сложные и комплексные математические модели, так и упрощенные уравнения в той или иной степени адекватно описывающие конкретные физические процессы (см., например, [1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 26, 43]).
Возникает вопрос, заключающий в себе как физический, так и математический смысл: нельзя ли усреднить все эти микроскопические модели, т.е., можно ли получить некоторую глобальную макроскопическую

задачу, описывающую распределение фаз в среде. Понятно, что решение такой обобщенной задачи позволит определить вид предельных задач, отвечающих множеству частных физических ситуаций. Этому вопросу посвящен широкий круг работ [6, 8, 9, 18, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 39, 40, 41, 44, 45, 46, 49, 54, 55, 56, 57].
Главным результатом упомянутых выше исследований является утверждение, что в качестве основной математической модели, дающей микроскопическое описание процессов, происходящих как внутри, так и вне зоны перехода фаз можно использовать систему фазового поля, которая впервые была предложена Г. Каджиналпом (G. Caginalp) [5]
^-V(k(x,t),V6) = -l^, (x,t)eQ, (1.5)
T^~e2Au = ^- + G{u)e. (1.6)
dt a
Здесь Q — (0, t*) x Q - ограниченная область с гладкой (С°°) границей, параметры I, т, а, е - безразмерные постоянные, к{х, t) - регуляризация по параметру е начального значения коэффициентов ^(х, 1), в = в(х, I) -регуляризация по параметру е начального распределения температуры 9±, и - функция порядка, причем при е —> 0 и —> ±1 для фаз "±", соответственно, и t* - некоторый конечный момент времени.
Доказывается, что система фазового поля (1.5), (1.6) при надлежащем выборе параметров ие-+0 переходит в соответствующие предельные задачи со свободной границей, см. [6, 8, 9, 49). В частности, выбор параметров, при котором а —»• 0, г ~ е2 —> 0, еа-1/2 —> 0, соответствует классической задаче Стефана (1.1)—(1.3), а выбор, при котором а, т, е —> 0, те~2 = const, та-1 = const, отвечает задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1-3), (1.4). За положение свободной границы принимается положение фронта предела (е —»■ 0) нелинейной волны и в системе (1.5), (1.6). Выбор функций F(u) и G(u) определяется свойствами рассматриваемой среды. В простейшем случае принимают
F(u) = и — u2m+1, m ^ 1, G(u) = х — const.
Распространение (динамика) свободной границы в задаче Стефана (1.1)—(1.3) и задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1.3), (1.4) в настоящее время достаточно хорошо изучено в работах В.Г. Данилова, Г.А. Оме-льянова, Е.В. Радкевича [20, 38, 41, 57]. Основная идея построения решения (т.е. определения функций в± и границы Г() состоит в том, что решение системы фазового поля (1.5), (1.6) рассматривается в смысле пространства обобщенных функций. Исходя из конкретной физической

Легко проверить, что
lim (VV)= lim i±£2^ = 0. i)-+—oo у 2 J 77—+—oo T)
Отсюда следует, что
ту —► ту — const <0, г —» —oo. (2.125)
Итак, получаем, что выполнены предельные соотношения
р —» р = const <0, ß -» ß = const >0, г —» —oo (2.126)
И, следовательно, имеем <Р2 — Заметим, что с учетом вышесказанного
й = 1 — еА5(х — х*) + 0х>/(є2),
где А = (—I/є) f (й(х, f) — 1)<£г.
Как было замечено выше, функции <рш, і = 1,2 определяются из задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11). В то же время, используя уравнение (1.11), можно получить соотношение между функциями <Ріі(т), * = 1,2:
(‘Plot + хф0А (ЄГ|І=¥>2 - öfLj /(p) +P(/>).
где функции /(p), p(p)y q(p) определены соответственно в (2.103), (2.105), (2.106). Используя уравнение (2.123) и формулу (2.127), получаем систему для определения функций ірц(т), г = 1, 2:
<Р2і + <Рп = Т(г), (2.129)

эд-^(Г(1-Л(“))<,“)'(й®(’,)+1)'
ГМ - + (ж/м _ Ы1Ыщ + М)
Как было показано выше, интеграл в правой части выражения для функции Е(т) сходится к константе д при т —» —оо. С учетом формулы