Симметрии и законы сохранения уравнений пластичности

• Автор: Яхно, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 102 с. : ил.

ГЛАВА 1. Симметрии уравнений пластичности
§ 1. Построение оптимальных систем подалгебр
1Л. Присоединенная алгебра и автоморфизмы
1.2. Оптимальная система одномерных подалгебр
1.3. Оптимальная система двумерных подалгебр
1.4. Оптимальная система трехмерных подалгебр
§ 2. Инвариантные решения
2.1. Решения ранга 0
2.2. Решения ранга 1
2.3. Решения ранга 2
§ 3. Построение групп симметрий
3.1. Фактор-система подалгебры < Х + М >
3.2. Фактор-система подалгебры < N + М + Т >
3.3. Фактор-система подалгебры < + N >
3.4. Фактор-система подалгебры < N + аМ >
ГЛАВА 2. Законы сохранения для квазилинейных
гиперболических систем
§ 1. Общий вид системы
§ 2. Уравнения плоской пластичности
2.1. Решение задачи Коши
2.2. Решение задачи Римана
2.3. Численная реализация
§ 3. Задача Коши для изоэнтропического течения
политрогшого газа
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Оптимальные системы подалгебр
2. Системы определяющих уравнений
3. Рисунки

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелинейных дифференциальных пространственных уравнений пластичности среды Мизеса.
Исследование систем дифференциальных уравнений с частными производными методами группового анализа ■- относится к актуальным направлениям теории уравнений математической • физики.
Основополжником данного направления считается известный норвежский математик Софус Ли, классические результаты которого позволили трансформировать интуитивное понятие симметрии в строгий теоретико-групповой метод решения дифференциальных уравнений.
В настоящее время, под руководством академика Л.В. Овсянникова [16, 18], возродившего интерес к работам С. Ли, в Институте гидродинамики СО РАН (Новосибирск) проводится программа ПОДМОДЕЛИ [17], в рамках которой исследуются уравнения газовой динамики. Коллективом авторов изучаются модели: относительно уравнения состояния общего вида [19], барохронные движения газа и небарохронные подмодели, случаи политропного и вязкого теплопроводного газов.
Большой вклад в развитие группового анализа сделан Н.Х. Ибрагимовым [11], которым обнаружены новые применения групповых методов.
В Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск) теоретико - групповые методы применяются в гидродинамике. Группой ученых в составе В.К. Андреева, О.В. Капцова, A.A. Родионова, Ю.В. Шанько изучаются групповые свойства уравнений однородной и неоднородной жидкости в переменных Лагранжа [2], исследуются также нестационарные трехмерные уравнения Эйлера [30].
В работах Б.Д. Аннина, С.И. Сенашова [3, 4] с использованием методов группового анализа построены классы точных решений уравнений пластичности Мизеса и Треска.
Таким образом, современный групповой анализ дифференциальных уравнений является мощным инструментом построения решений для различных уравнений математической физики.

Далее приведем систему, которая будет предметом рассмотрения в первой главе работы.
Пусть хх,Х2,Хз — декартова прямоугольная система координат, сг^-,= 1,2,3) — компоненты тензора напряжений и девиатора тензора напряжений. При этом, компоненты а^ удовлетворяют системе уравнений равновесия
~ (*', 3 = 1,2,3) (0.1-0.3)
СЩ — = СГ^б^,
где р — гидростатическое давление, 5^ — символ Кронекера,
запятая означает дифференцирование по соответствующей переменной, здесь и далее по повторяющимся индексам проводится суммирование.
В силу условия Мизеса, компоненты девиатора тензора напряжений связаны условием текучести
sijSij = А£, (0.4)
где к3 — предел текучести при чистом сдвиге.
Пусть — компоненты тензора скоростей деформации, тогда
2ец = щ,] + Ujj, где й — (и1,гх2,Дз) — вектор скорости. Среда предполагается несжимаемой, поэтому
(Ну и = — 0. (0.5)
Для замыкания системы уравнений (0.1)-(0.5) предполагается выпол-неным закон течения, который связывает компоненты и

где Л = Х(хх, Х2, х%) — положительная функция.
Таким образом, имеем замкнутую систему уравнений (0.1)-(0.5), а именно 4 уравнения (три уравнения равновесия (0.1-0.3) и условие несжимаемости (0.5)) для определения неизвестных функций их, «2, из,р. Условие текучести (0.4) служит для определения А.

§2. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ.
Второй параграф посвящен классическим уравнениям двумерной идеальной пластичности. Описаны законы сохранения, с помощью которых найдено аналитическое решение задачи Коши и задачи Римана. Проведена численная реализация метода и его апробация на известных точных решениях. Решено несколько задач, для которых не известны точные аналитические решения.
Рассмотрим уравнения [4,7], которые описывают напряженное состояние среды в пластической области
д д д д
^-сгх +—т = 0, —т +—оу =0,
ОХ ду дх ду и (2.16)
(оу - ах)2 + 4г2 = 4к2.
где ах,ау,т — компоненты тензора напряжений, к — постоянная пластичности.
Введем обозначения а, в следующим образом [12]
ох — ст — к ьт 2в, ау = о + к вт 29, т = к сое 26.
Тогда система (2.16) запишется в виде:
^_2*(фсо82«+^8т29|=0,
ох ох оу
Іп2«-^соа2*|=0, оу дх ду
(2.17)
где а — гидростатическое давление, в — угол наклона касательной к линии скольжения, отсчитываемый в положительном направлении от оси ох.
Система (2.17) изучалась многими авторами на протяжении почти целого столетия, на ней опробовались все новые методики математического и численного анализа. Приведем результаты, известные для системы (2.17).
1. Данная система является гиперболической. Уравнения
^ = A = tgв, ^ = В =-сі%в, (2.18)