Разложение по собственным функциям дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов на геометрических графах

• Автор: Бурлуцкая, Мария Шаукатовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 146 с. : ил.

1 Теоремы равносходимости для оператора дифференцирования

§ 1.1 Постановка задачи в пространстве вектор-функций.

Регулярные краевые условия

§ 1.2 Равносходимость разложений по с.п.ф оператора Т и тригонометрического ряда Фурье на графе-цикле

§ 1.3 Случай оператора с нерегулярными краевыми условиями.

Аналог теоремы Жордана-Дирихле

1.3.1 Теорема Жордана-Дирихле в скалярном случае

1.3.2 Аналог теоремы Жордана-Дирихле для оператора дифференцирования на простейшем графе . . •

1.3.3 Теорема о разложении для оператора дифференцирования на произвольном графе

2 Теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля

на геометрическом графе

§ 2.1 Резольвента оператора То и ее свойства
2.1.1 Краевая задача для резольвенты оператора То
2.1.2 Формула для резольвенты оператора То и ее асимптотические свойства
§ 2.2 Равносходимость спектральных разложений оператора
Штурма-Лиувилля и оператора То
§ 2.3 Равносходимость разложений по с.п.ф. оператора Т и тригонометрического ряда Фурье
3 Функционально-дифференциальные операторы первого порядка
на графах
§ 3.1 Функционально-дифференциальный оператор
первого порядка на простейшем графе из двух ребер, содержащем цикл
3.1.1 Построение краевой задачи для резольвенты оператора Ь
3.1.2 Преобразование системы (3.8)-(3.9)
3.1.3 Исследование решения задачи (3.28)—(3.29)
3.1.4 Асимптотические свойства решения задачи (3.8)-(3.9)
3.1.5 Теорема равносходимости
§ 3.2 Функционально-дифференциальные операторы
первого порядка на графе-цикле
§ 3.3 О сходимости средних Рисса разложений по собственным
функциям оператора Ь
Список литературы

В последние 25-30 лет получила большое развитие теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах (пространственных сетях). Начало исследований было положено в работах отечественных (Б.С. Павлов [1], Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин ([2], [3]) и др. ) и зарубежных (J. von Below ([4], [5]), G. Lumer [6], S. Nicaise [7]) математиков и касалось задач, описывающих различные модели: диффузии, колебаний упругих сеток, распространения нервного импульса и др. Работы зарубежных математиков, в основном, посвящены обоснованию разрешимости краевых задач на графах, исследованию структуры спектра этих задач, асимптотики спектра, получению оценок резольвенты. В настоящее время в нашей стране наиболее активные исследования проводятся творческой группой Ю.В.Покорного (A.B. Боровских, К.П. Лазарев, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, С.А. Шабров), основные результаты которой отражены в [8] (см. также библиографию в [8]). Исследованы спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучена функция Грина, рассматривались многие другие проблемы. В последние годы активно исследуются волновые процессы на сетях ([9], [10], [11]).
В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи о разложении произвольных функций в ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) дифференциальных операторов и функциональнодифференциальных операторов с инволюцией, заданных на графах.
Исследование подобных вопросов для различных классов (дифферен-

+ J e Xje A(t j) dt = J e Xifi(t)dt + e x j e Xifi(t) dt -} h
j oo
1 dx-j
+e_Ay_1) J e~Xth(t)dt + e~Xj J e~Xtfl{t)dt

1 dx-j
= (1 + e~A + • • • + e-^-1)) I e~At/i (t) dt + e~Xj I e-A7i(t) dt

1 dx-j
= Jе-ит<й+е-» J е-л'/,й*.
Тогда из (1.34)
to/M*)=eM* j j e-um л-
{ о
1 dx-j
J e~xtfi{t) dt + e~X] J e_A7i(i)fl
_ gAdxg-Aj
( dx-j 1

1-ел
dx-j
J + J e Xifi{t)dt+ J e Xih(t)dt
У 0 dx-j j
gA (dx-j)

dx-j 1 j
J e~Xifi(t)dt+ j ex^fi(t)dt. (1.35)
0 dx-j
Отсюда следует утверждение теоремы. □
Теорема 1.6. Пусть /Дж) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,1], и /ДО) = /Д1), а /г(ж) = /Дс?ж — /), гс?е ж € [/^-1,(/ + 1)^-1]- Тогда функция /(ж) = (/Дж),/г(ж))Г разлагается в равномерно сходящийся на всем отрезке [0,1] ряд по собственным функциям оператора Ь.
Доказательство. Действительно, для первой компоненты 5Д/, ж) име-