Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов

• Автор: Курбанов, Вали Махарам оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 210 с.

Содержание
Введение
1 Некоторые свойства корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов
1.1 Оценка собственных и присоединенных функций
1.2 Односторонние формулы сдвига для корневых функций
1.3 Формула среднего значения для корневых функций
1.4 Оценки для функций А(д, £) и К (г, £)
1.5 Оценки для функций Р(г, £), К(£, г) и К (7, д)
2 Распределение собственных значений и критерий бесселевости систем корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов
2.1 Основные понятия и формулировки основных результатов
2.2 Доказательство теорем 2.1.1
2.3 Необходимость условия ” сумма единиц”
2.4 Критерии бесселевости и безусловной базисности. Некоторые примеры
3 Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов
3.1 Основные понятия. Оценка коэффициентов Фурье

3.2 Неравенство Хаусдорфа-К)нга для систем корневых
функций и вспомогательная лемма
.3 Теоремы равносходимости и базисности при Р{х)
.4 Оценка разности V(х)8(У~1 /, х) — £;,(/, х)
3.5 Теоремы о равносходимости при Рг(х)0
3.6 Некоторые примеры
Литература
Введение.
Настоящая диссертация посвящена исследованию спектральных свойств несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов.
Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ В.А. Стеклова [1, 2], Л.Д. Та-маркина [3, 4], Д. Биркгофа [5] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.
При построении спектральной теории дифференциальных операторов фундаментальную роль играют два вопроса: 1) вопрос о базисности систем корневых функций изучаемого дифференциального оператора в том или ином классе функций, 2) вопрос о равносходимости спектрального разложения произвольной функции из того или иного класса по системе корневых функций изучаемого дифференциального оператора с разложением той же функции в тригонометрический ряд.
Длительное время основным объектом исследования были спектральные свойства самосопряженных дифференциальных операторов. Однако в последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Примером задач такого рода может служить известная задача Бииадзе-Самарского [6] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.
Переход к несамосопряженным задачам существенно усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. Было замечено, что система собственных функций несамосопряженного оператора, вообще говоря не только не образует базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса Д2, но и не является полной в Ь2. Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. В несамосопряженных задачах собственные и присоединенные функции (которые называются также корневыми функциями), вообще говоря, не ортогональны в Ь2, и ни их минимальность, ни их замкнутость еще не влечет за собой их базисности в этом пространстве. Таким обраг-зом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самосопряженным случаем.
Большой заслугой М.В. Келдыша (см. [7, 8]) является установление факта полноты в Б2 специально построенной системы корневых функций (названной М.В. Келдышем канонической системой) для широких классов кра-

где Кх5 = [ж, х + (2ns J) l(b-a)].
Пусть Rk = min{(2n<5)_1(& - а), (1 + Ы)-1}, fh, = (-Ak)l/n,
M« = ох_11145)11о°}.
Тогда при х е [а, (а + Ь)/2], 0 < t < Rk в силу неравенства Гёльдера из формулы (1.1.15) находим
П«П*)1 <*£ КО* + ht) I + BVäJ-1 Е IKKaJK IK + /1=1

Lv(k)\p1
+B2nn+ltfT1+1/4'Klk)\P' < В E КО* + /г£)| + ß2n" x

x E 1t’ (лг'114”',,11») |H|,Ä. + в2п”+,лГ1+,/,'|1«кч1 U
где l/p' + 1/g' = 1.
Учитывая здесь неравенства Rk < 1 и (1.1.19), получим
f|4s)(E! < Е КК + Ю1 + я2пп+Км£ +nV+,Hr1/p'l|uKfe]||/.

Следовательно, при а < х < (а + b)J2, 0 *>.Р(.т)| < В £ КО* + /it)| + (2пГЧС + B2n"+1Rrl/plK[k)\P,

Проинтегрировав последнее неравенство по t от 0 до /4 и применив неравенство Гёльдера, получим
ЛЦг/ОК < Вп2ЯГк11г,\щ.ЦР + 1/2М* + Б2?г,,+2ЯГ1/г>'||д7/( |К
где х € [а, (а + 4)/2], s = 0,п — Г.
В силу симметрии, такое же неравенства выполняется и в случае х € [(а + Ь)/2,6].
Следовательно,
< 2Яп2Л* ,/р|КИР + 2В2пи+2R%~1,/?/(|[|р'.
Отсюда в силу определения числа следует, что
HulU < 2Вп2Щ*~1/р\ик\р + 2B2nn+2R:r~l/p)uv(k)\p'.
Учитывая здесь определение числа Rk, приходим к оценке
II«?’IU < С(«Х 1 + 1л1)'4|/’Ч11«ь11, + (1 + /><Г+1/"'',/,1Км11Л.