Резонансный захват и специальные эргодические теоремы

• Автор: Рыжов, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Резонансный захват
1.1. Введение: формулировки и обозначения
1.2. Выпрямляющая замена для уравнения класса Д и его возмущений
1.2.1. Интегрируемый случай
1.2.2. Преобразования возмущений
1.3. Захват фазы
1.3.1. Критерий захвата
1.3.2. Методы теории возмущений
1.3.3. Резонансные мономы
1.3.4. Приложение к возмущенному уравнению класса Д
1.4. Накопление языков Арнольда
1.4.1. Языки Арнольда: случай к
1.4.2. Языки Арнольда: случай к >
1.4.3. Захват фазы для возмущений общего вида
2. Специальные эргодические теоремы
2.1. Введение
2.1.1. Напоминание
2.1.2. Принципы больших уклонений
2.1.3. Теорема для отображений и ее приложения
2.1.4. Потоки
2.2. Доказательства
2.2.1. Доказательство основной теоремы
2.2.2. Доказательство теоремы
3. Диффеоморфизм, для которого СЭТ не выполняется
3.1. Размерность 1: разрывное отображение отрезка
3.2. Размерность 2: просеивающая конструкция
3.3. Размерность 3: поток на стратифицированном многообразии
3.3.1. Эвристическое описание
3.3.2. Построение стратифицированного многообразия
3.3.3. Построение потока
3.4. Размерность 4: склейка настоящего многообразия
3.4.1. Снова эвристическое описание
3.4.2. Построение многообразия с кусочно гладкой границей
3.4.3. Построение потока
3.4.4. Доказательство теоремы
3.4.5. Замечания о топологическом типе многообразия
Литература

Введение
Актуальность темы. Работа посвящена исследованиям в теории динамических систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений, теории возмущений, эргодической теории и теории фракталов.
Согласно современной научной парадигме, основной задачей теории динамических систем является описание асимптотического поведения большинства траекторий типичной динамической системы. Такая формулировка требует пояснения нескольких вопросов: относительно какой меры рассматривается большинство траекторий; в каких терминах должно быть описано асимптотическое поведение; что означает термин ’’типичная динамическая система”?
У всех рассматриваемых в работе динамических систем фазовое пространство представляет собой компактное риманово многообразие. В этом случае риманова метрика каноническим образом порождает вероятностную меру Лебега. Тогда с физической точки зрения наиболее естественный способ описать „большинство траекторий“ — это выбрать начальную точку траектории типичной относительно меры Лебега.
Асимптотическое поведение траекторий описывается в терминах инва-

Замечание 1.1. Формула (1.18), кроме того, дает
[С2]і,о = 90 б'1 + Ь- = 9оГ>(1 + Ь(1~32аг)). (1.19)
1.3 Захват фазы
В этом разделе излагаются результаты классической теории возмущений в форме, необходимой для дальнейшего.
1.3.1 Критерий захвата
Рассмотрим аналитическое уравнение на торе
Обозначим через р(А, є, 5) его число вращения, и через Р(-, Л, є, 5) соответствующее отображение Пуанкаре.
Предположим, что при X = р/д и малых є, ё в семействе (1.20) не происходит захвата фазы. Тогда существует аналитическая функция Х(є,6), такая, что Л(0, 0) = р/д, р{Х(є, 5)) = р/д, Ря(а,Х(є,6),є,5) = ісі. В этом случае уравнение
послойно (с сохранением времени) при всех малых 6,5 сопряжено уравнению
а — Л + єР + 5Сг.
(1.20)
а = А(£,<5) + єР + 5С
(1.21)

Таким образом, если сопряжения нет, то захват фазы есть.
(1.22)