О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору высокого порядка

• Автор: Зуев, Андрей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 73 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. БАЗИСНОСТЬ СРЕДНИХ РИССА С ВЕЩЕСТВЕННЫМ
СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
§1. Основные понятия. Формулировка результатов
§2. Вспомогательное утверждение
§3. Доказательство вспомогательных оценок (15) - (22)
3.1. Доказательство оценок (15), (16)
3.1.1. Случай ц— |/Щ| < е
3.1.2. Формула для интеграла специального вида
3.1.3. Оценки интегралов специального вида
3.1.4. Доказательство оценок (15), (16) в случае:
1я - Ы1 > £
3.2. Доказательство оценки (17)
3.3. Доказательство оценок (18) - (22)
Глава 2. БАЗИСНОСТЬ СРЕДНИХ РИССА С КОМПЛЕКСНЫМ СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
§4. Случай комплексного спектрального параметра рд
§5. Оценка средних Рисса спектральной функции
§6. Примеры
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена исследованию разложений заданной функции по собственным и присоединенным ( короче — корневым ) функциям дифференциального оператора. Это одна из проблем спектрального анализа — актуального направления современной науки. К ней приводят многие задачи математической физики, квантовой механики и другие. При этом фундаментальную роль играет вопрос о базисности корневых функций.
В настоящее время широко изучены самосопряженные операторы. В частности, на вопрос о базисности корневых функций таких операторов получен ответ в терминах краевых условий. ( Заметим, что в классической теории, например [22], понятие дифференциального оператора всегда было связано с краевыми условиями. ) Согласно основной теореме Дж. фон Неймана [23], система всех собственных функций самосопряженного оператора образует ортонормированный базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса Ьч
В случае же несамосопряженного оператора система всех его собственных функций не только может не образовывать базиса в Ьч, но и не обязательно является полной в Ьч ( то есть произвольную функцию из класса Ьч не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике Ьч линейной комбинацией собственных функций ). Поэтому систему собственных функций приходится пополнять присоединенными. В несамосопряженных задачах корневые функции, вообще говоря, не ортогональны, и ни их замкнутость, ни их минимальность еще не влечет за собой их базисности. Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал новых оригинальных методов исследований.
В процессе изучения проблемы полноты важный результат был получен М.В.Келдышем в [16]. Им была рассмотрена специально построенная система собственных и присоединенных функций. Автор назвал эту систему функций канонической ситемой. Было доказано, что эта система является полной в Ьч для широких классов несамосопряженных краевых задач. Однако, вопрос о том, образует ли построенная система базис в Ьч- остался открытым.
Позднее в работах Г.М.Кесельмана [18] и В.П.Михайлова [20] был выделен класс краевых условий ( названных усиленно регулярными ) , обеспечивающих базисность Рисса систем корневых функций. При этом все собственные значения, начиная с некоторого - простые.

Однако целый ряд задал не охватывается указанной теорией. Это стало очевидным с постановкой в последние десятилетия неклассических задач математической физики: отыскания условий устойчивости плазмы, расчета ядерных реакторов и других. Такие несамосопряженные задачи приводят к бесконечному множеству кратных собственных значений и бесконечному множеству присоединенных функций.
Рассмотрим следующий пример. В 1976 году Н.И.Ионкиным в [15] была изучена одна неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче
( —(р(х)и')' + ц(х)и — и , а < х < Ь,
| и(а) — 0. «'(а) = и'{Ь)
краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее в работе было установлено, что специальным образом выбранная система корневых функций образует базис в Ьп{а Ь).
Для подобных задач выразить условия базисности в терминах краевых условий нельзя. Это обусловлено тем, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций ( для одного и того же оператора с одними и теми лее краевыми условиями молено построить системы корневых функций, одни из которых могут образовывать базис в 1/2) а другие нет ) и не определяется только конкретным видом краевых условий ( на свойства базисности влияют также значения коэффициентов дифференциального оператора, причем указанное свойство изменяется при каком угодно малом изменении значений коэффициентов ), что показано в работе В.А.Ильина [12].
В 1976 - 1978 годах В.А.Ильин предложил новую трактовку, которая позволила отказаться от задания в какой-либо форме краевых условий.
Пусть А — заданный на произвольном интервале С. вообще говоря, несамосопрялсенный обыкновенный дифференциальный оператор
Ьи = и + р2{х)ип~ + .. + рп(х)и.
Системой корневых функций этого оператора назовем произвольную систему комплекснозначных функций |гц.(ж)} такую, что для не-

Теперь оценим выражение (37).

I + 8+[б]+5 ,/5+ СО${ркг - ])сЫ

/ ]р+2/я ч+н+Л+1(аа) сов(* - ))&<т
Ло/З

= ±- / дд+2 /{.~'++2 (Я) <Ш, где вместо интеграла используется
л -До 1 -Д / л _|_ Ы _|_ 2) /
обозначение (27). Далее, без учета знака, / пгдрг / + т)<1т
' 0 До/2 До/2

ДИ+2

_ | /Ц+М+г){тМг
До/2
2 + М
До/2 До л , гл Я

Д—До/2

До/2
ДМ+3
./р'+Н+2)(т)с/тг/Я.
(39)
(40)
Ди/2
Выражение (39):

>]+з
О+М+2)

(т)(1т
О До/2 До
рМ+2 Е> хгл 1 ь0
/ ++Н+г’(т)Л

П т
[я]+2
О + М+2)
(41)
Ю Д0/2 О
Если ] > 1, то у + [в] + 2 > ,5 + 2. Если же [а] — нечетное, то, как было сказано выше, вместо [а] берется [а + 1], и тогда ] + [а + 1] + 2 > а + 2 для любого ].
Но в этих случаях по оценке (30) модуль выражения (41) равен

Т+о+н+г—У,/21 - МГ20(1)
= л1/г
(42)
Если = 0, то а + 1 < / + [а] + 2 < а + 2, и по оценке (35) модуль выражения (41) равен