О параболическом уравнении на стратифицированном множестве

• Автор: Куляба, Виктория Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 93 с. : ил

Содержание
Введение

Глава 1. Постановка задачи

§1.1 Пример задачи, приводящей к параболическому оператору

на стратифицированном множестве

§1.2 Используемые понятия римановой геометрии и основные

обозначения

§1.3 Стратифицированные множества

§1.4 Координаты на стратифицированных множествах

§1.5 Стратифицированная мера

§1.6 Функциональные пространства на стратифицированных

множествах
§1.7 Дивергенция векторного поля па стратифицированном
множестве
§1.7.1 Физическая интерпретация дивергенции
§1.7.2 Определение дивергенции
§1.8 Параболический оператор на стратифицированном
множестве
§1.9 Прочные стратифицированные множества
§1.10Аналоги классических интегральных тождеств
Глава 2. Неравенство Пуанкаре
§2.1 Неравенство Пуанкаре как следствие прочности
стратифицированного множества
§2.2 Прочность стратифицированного множества как следствие
неравенства Пуанкаре
§2.3 Связь прочности и 2-связности стратифицированного
множества
§2.4 Слабая разрешимость задачи Дирихле
§2.5 Слабая разрешимость задачи теплопроводности

Глава 3. Принцип максимума
§3.1 Слабый принцип максимума для обобщенных решений . .
§3.2 Слабый принцип максимума для классических решений . .
§3.3 Лемма о нормальной производной
§3.4 Сильный принцип максимума для классических решений .
Литература

Введение
Дифференциальные уравнения на стратифицированных множествах возникают как математическая модель систем, составленных из элементов различной размерности (точечных, линейных, плоских и т.д.). Для нас отправной явилась задача о распространении тепла в системе, составленной из стержней и пластин. Первая же известная нам работа, относящаяся к обсуждаемой нами теме, принадлежит Р. Куранту (см. [35]). В ней изучаются колебания мембраны с прикрепленной к ней струной. Отметим также довоенные работы Л. Коллатца, посвященные вычислительным аспектам проблемы, рассмотренной Р. Курантом (подробно об этом см. [11]).
Новый всплеск интереса к задачам подобного типа относится к началу 80-х годов. Из зарубежных ученых отметим G. Lumer’a (см. [37], [38]), S. Nicaise’a (см. [39], [40], [41]), J. von Below (см. [33], [34]). Результаты этих ученых получены в основном в связи с изучением процесса диффузии в топологических сетях (графах). В основу их подхода положено естественное соображение о том, что каждому элементу системы должно соответствовать одно уравнение классического типа, а учет взаимодействий элементов между собой приводит к дополнительным дифференциальным соотношениям, играющим роль условий согласования (трансмиссии) упомянутых дифференциальных уравнений.
Формализация этого подхода привела к операторной трактовке задачи диффузии с оператором, действующим в так называемых ветвящихся пространствах (ramified spaces). К сожалению, такой подход оказался почти не пригодным для изучения качественных свойств решений.
В нашей стране в работах Ю.В. Покорного и его учеников (см. [27], [28], [29]), В.В. Жикова и его учеников (см. [7], [8], [9]) и работах О.М. Пенкина (см. [24], [43]) был предложен иной подход, основанный на другом естественном предположении, а именно, что все дифференциальные соотношения, в том числе и условия согласования, являются отражением

Рис. 8: Г2о состоит из стратов.
ет то, что на нем будут задаваться лишь краевые условия и никаких уравнений рассматриваться в дальнейшем не будет. Таким образом, описанное изменение стратификации не повлечет за собой изменение задачи, включающей, например, краевые условия на границе, уравнения диффузии на По х ® н т-п-
Мы видим, что требования, предъявляемые к выбору множества являются вполне обоснованными как с физической точки зрения, так и с точки зрения удобства обозначений и приемов работы.