О спектральных характеристиках задач типа Штурма-Лиувилля с сильно сингулярными потенциалами

• Автор: Савина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 118 с.

ВВЕДЕНИЕ
Важную роль в математическом моделировании природных явлений играют решаемые модели. Они дают возможность понять основные черты явления. Это, в частности, модели, описывающие движение частиц в поле потенциала, сосредоточенного на некотором дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек - месте расположения «точечных источников».
В этих моделях можно явным образом определить резольвенты и такие связанные с ними математические и физические характеристики, как спектр, собственные функции, их асимптотическое поведение и разложение произвольных функций из Ь-1 по спектру исследуемой задачи.
В зависимости от характера изучаемых взаимодействий для этих моделей используются самые разные названия (смотри библиографию в [8]), включающие такие термины, как «точечные взаимодействия», «потенциалы нулевого радиуса», «сильно сингулярные потенциалы», «дельтавзаимодействия», «псевдопотенциалы Ферми».
Наиболее важные применения эти модели находят в физике твердого тела, например, модель Кронига-Пенни, в атомной и ядерной физике - описание коротко действующих ядерных сил, низкоэнергетических эффектов.
Основные квантово-механические системы, подходящие под указанные выше модели, на физическом уровне строгости в одномерном случае задаются одночастичным многоцентровым гамильтонианом вида
нпАх)=-/"(*) + ?(*)/(*) + X аЛх - х, )/М> (°-1)

где через (-/'(х) + ц(х)/) обозначен самосопряженный одномерный лапласиан в Ь2(Я+) с областью определения Н2’2(Я+), J дискретное (конечное или счетное) подмножество в /Г, а, - константа связи, приписанная точечному источнику, находящемуся в точке х, , а <%х - х,) - функция Дирака в точке х„ т.е., единичная мера, сосредоточенная в х,. Более того, в одномерном случае, в от-

личие от двумерного, оператор + с"(л+и)’ обладая четырехпарамет-
рическим семейством самосопряженных расширений в пространстве Ь2(Я+), имеет дополнительные типы точечных взаимодействий, так называемые 5'-взаимодействия, которые будут описаны ниже.
Пусть q(x), р(х) - вещественные функции, определенные на интервале (а; Ь),р(х) > 0 (-со <а<Ь< +оо).
Рассмотрим спектральную задачу Штурма-Лиувилля для уравнения
Регулярный случай спектральной задачи Штурма-Лиувилля для уравнения (0.2), соответствующий q(x) е С(Я+), р(х) е С2(Я+), изучен сравнительно давно и подробно изложен в монографиях [10], [11], [14], [30], [53], [56]. В то же время теоретической основой как регулярной, так и сингулярной спектральной задачи для уравнений (0.2) и уравнения
где Н/ задается формулой (0.1), является общая спектральная теория симметрических и самосопряженных расширений операторов в гильбертовом пространстве.
Но далеко не всегда эта теория позволяет дать ответ на ряд вопросов, касающихся спектральных характеристик. К ним в наибольшей степени относятся вопросы, связанные с исследованием спектра с сильно сингулярным потенциалом (т.е. в том случае, когда коэффициенты являются обобщенными функциями), исследованием асимптотики собственных функций, соответствующих дискретному спектру, а также с разложением произвольных функций из Ь2(К) по спектру исследуемого оператора.
В отечественной литературе вопросам спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов второго порядка посвящена монография Б.М.Левитана [34], где изложен иной метод обоснования теории, суть которого сводится к тому, что основные спектральные соотношения для сингу-
1у] = —у"(х) + q(x)y(x) = Ар(х)у(х) (а<х< Ъ).
(0.2)
(0.3)
лярного случая получены предельным переходом соответствующих соотношений для регулярного случая.
Вопросам исследования спектра в сингулярном случае посвящены работы многих отечественных и зарубежных математиков [7], [10], [15], [21], [26], [27], [29], [35], [40] (смотри также библиографию в [8]). В некоторых из них изучены также вопросы разложения произвольных функций из по спектру исследуемого оператора. Вопросам же асимптотического поведения собственных функций, соответствующих дискретному спектру, посвящены работы, в которых коэффициентами в уравнении являются обычные функции из различных классов. Литература по этим вопросам обширна. Отметим прежде всего классические работы Штурма [65] и Лиувилля [63], а также работу В.А.Стеклова [51].
Во всех этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнений (0.2) и (0.3) и при выполнении условия
было установлено:
1. Существует счетное множество собственных чисел кп спектральной задачи
0 < т < р(х) < М
(0.4)

(0.5)

$у2 (х)р(х)сЬс

с единственной предельной точкой на +СО.
2. Все собственные числа вещественны и при п —> оо

к+т ж
л,=1А<К(*,.а)/(<>*+ Е АикХх„пх)г(г)л,
1=1 О <=4+1 о
где коэффициент Ац (г — 1, 2, ... , к+т) представляет собой с точностью до знака произведение а, на значение определителя порядка 2к+2т-, зависящего от ап (р(х,Д), г/у(хгД), (р{(хьХ), (р{(хьХ), 1 = 1,2
Вычисляя определитель А,-, разложим его по элементам у'-го столбца и получим:
Л 00 к+т
=Е4/у Ко(*/»)/(+ Е 4.1 |4(х;,ц/1)/(4й
1=1 0 /=*+1 о
где коэффициенты Яу, вычисляются аналогично А1л,] =1,2

Су = дия)
£ со
(=1 о 1=4+1 о
(1.3.23)
1 -1,2
Соответственно решение (1.3.20) уравнения (1.3.9) запишется в виде
(1.3.24)
у(х,Я)

<р2(х,Л)

<рх{х,Х)

Еа4*о(*,.'Д)/(0*+ Е аАк,(х„г,л)/(1)с11
.1=1 О 1=4+1 о
. 0 < х < х

Д°мО)
(огЦд)

Е Лу,1 >о (+ ’ ъ л)/(()ж + Е А;,« Рч(*А; л)/(№
1=1 0 1=4+1 о

к.т(Я)
<Р(х,Л)
К / К+т
/АГ0(х/,/;Я)У(/>*+ I Ау+у К{{х1+-?Г{к)ск

1=4+1
х <х< х,+1, у = 1,2
к к+т
X 2к+2т
1к0(х„г,л)/Ь)сЬ+ Е 24+2т,<

1=4+1

*4+т < х < со;

где введено обозначение / = р<Г0(х,г;Л)/(г)сй.