Построение конечнозонных решений солитонных уравнений сведением к задаче обращения Якоби

• Автор: Новиков, Дмитрий Петрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Вспомогательные предложения
§1.1. Компактные римановы поверхности. Задана обращения Якоби
§1.2. Решение задачи обращения Якоби на гиперэллиптической кривой
§1.3. Деформации абелевых интегралов, сохраняющие периоды
Глава 2. Построение алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны сведением к задаче
обращения Якоби
§2.1. Постановка задачи
§2.2. Описание решений канонической системы в классе (2.5) — (2.6)
§2.3. Вычисление нулей -у* в случае и Е Qo
§2.4. Приведение системы (2.1)-(2.2) на алгебре Ли sl2 к каноническому виду
Глава 3. Приложения к нелинейным уравнениям математической физики

§3.1. Построение класса алгебро-геометрических решений системы уравнений кирального поля
§3.2. Построение алгебро-геометрических решений уравнения Г
§3.3. Построение алгебро-геометрических решений уравнения Кричевера - Новикова
Литература

Введение
За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики.
1. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий строить точные решения этих уравнений. Первый шаг был сделан в работе Гарднера, Грина, Крускала, Миуры [1],
где была решена задача Коши для уравнения Кортевега - де Фриза
(КдФ)
-f* Uxxx битх — 0 (0.1)
с быстроубывающим при |ж| —> со начальным условием и(х. 0) = щ(х), путем сведения к обратной задаче рассеяния для оператора Штурма - Лиувилля L = d2 /dx2 Этот механизм был усовер-
шенствован и осмыслен с различных точек зрения в работах Лакса [2], В.Е. Захарова и Л.Д. Фаддеева [3], Гарднера [4]. Затем были найдены другие нелинейные уравнения, которые интегрируются аналогично КдФ. Первым таким уравнением было нелинейное уравнение Шредингера (НШ)
iut = ихх + 2ии2, (0.2)
с которым В.Е. Захаров и А.Б. Шабат в 1970 г. [5] связали задачу рассеяния для линейного оператора, уже не являющегося оператором Штурма - Лиувилля. Затем были открыты линейные операторы

•35—
а и Ь+, Ь и затем использовать свойства (1.2), (1.5) абелевых интегралов и тэта-функции:

2iri
j=l Ja
z9dz

dnF(P)
z9dz
а 2гг Jbj 2w 1 9 r

z9dz
d{]nF{P) + 2mAj{P))~
z9dz
2m Jb
= t [- £ (£ +2« £ /£
2*<£‘Mi£]+s d In F(P)
z9dz 2 w
A 2w
d In F(P)
dAj(P)-
— const

z9dz
. ~2uT’
const не зависит от er
2. Случай deg Д = 2р + 2. Полюса подинтегрального выражения — простые, находятся в точках Р*, i = 1,д, по формуле вычетов имеем

— rPi z9dz

р=р<

Для применения второго способа необходимо поделить границу дТ' на пары сторон в соответствии с ориентацией и учесть локальные разложения интеграла 3-го рода /£ £££ в окрестностях логарифмических точек ветвления (оо, +) и (оо, —). В результате получится
- шр р р/л-1)
= const +
±eJ 1+ 1 rFiP).
Jaj 2w 2л/До У(оо,+)