Спектры дифференциальных операторов с геометрическими, разбегающимися, локализованными и сингулярными возмущениями

• Автор: Борисов, Денис Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 268 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Волноводы, соединённые окном

1.1 Двумерные волноводы

1.1.1 Область определения

1.1.2 Оценки, непрерывность и сходимость собственных

значений

1.1.3 Поведение резольвенты в окрестности края существенного спектра

1.1.4 Асимптотики возникающих собственных значений

1.1.5 Асимптотики собственных значений при / —► +ос

1.2 Трёхмерные волноводы

1.2.1 Область определения
1.2.2 Оценки и непрерывность собственных значений
1.2.3 Редукция резольвенты к компактному оператору
1.2.4 Особенность резольвенты
1.2.5 Асимптотики возникающих собственных значений
2 Операторы с разбегающимися возмущениями
2.1 Операторы в бесконечном цилиндре
2.1.1 Структура спектров операторов Тії. ТІ±
2.1.2 Свойства операторов 7і±
2.1.3 Редукция уравнения на. собственные значения
2.1.4 Сходимость собственных значений

2.1.5 Асимптотики собственных значений и собственных
функций
2.1.6 Примеры разбегающихся возмущений
2.2 Разбегающиеся возмущения в многомерном пространстве
2.2.1 Редукция к операторному уравнению
2.2.2 Редукция уравнения на собственные значения
2.2.3 Сходимость и асимптотики собственных значений в
общем случае
2.2.4 Асимптотики собственных значений в частных случаях
3 Периодические операторы с локализованными возмущениями
3.1 Одномерный оператор с локализованным возмущением
3.1.1 Структура и сходимость спектра
3.1.2 Вложенные собственные значения
3.1.3 Вспомогательные утверждения
3.1.4 Возникающие собственные значения
3.1.5 Примеры
4 Операторы с быстро осциллирующими коэффициентами
4.1 Асимптотика резольвенты и собственных значений в многомерном случае
4.1.1 Вспомогательные утверждения
4.1.2 Асимптотика резольвенты
4.1.3 Асимптотики собственных значений
4.1.4 Примеры
4.2 Собственное значение возле края существенного спектра
4.2.1 Критерий существования собственного значения
4.2.2 Вспомогательные утверждения

4.2.3 Асимптотики собственного значения и собственной
функции
Литература

где к = 1
і = ar + s. Верны оценки
Т<°> = О , їх -х +оо.
Теорема 0.21. Пусть Л* Є <т* является (1 + 0 + ... + 0) -кратным, и ф
соответствующая собственная функция оператора Н, нормированная в Ьг(Кл). Тогда асимптотика собственного значения А(А')
1х~>+оо
оператора Нх имеет вид:

Х(Х) = А* - J2 - А*)-1,!);fc)ia(ni)

+ C?(Ze-3Ix), /х -» +оо.
Соответствующая собственная функция имеет асимптотику ф(х, X) = фх(х- Хі) + 0(ірЛе~-1:), lx -> +оо в норме W|(R").
Теорема 0.22. Пусть А* Є сг* является (1 + 1 + 0 + .. + 0)-кратным, и фі, і = 1,2 — соответствующие собственные функции операторов Ні, нормированные в L2(M.n). Тогда асимптотики собственных значений Х1; г — 1, 2, оператора Нх, сходящихся к А*, имеют вид:
А] — А*
А‘2 — А* +
пр и ІХ +оо.
(Сів{ХІ!2)ф2,Фі)І2{Яі) (CS (А'і ;2) > Фі) }
Как и в теореме 0.15, в последней теореме первые члены асимптотик собственных значений оператора Нх, сходящихся к (1 + 1 + 0+ ... + 0)-кратному числу из о*, равны но модулю и имеют разные знаки. Как и в теореме 0.15, мы не предполагаем здесь какой-либо симметрии для операторов С,. Таким образом, мы можем утверждать, что данный эффект не