Некоторые нелинейные задачи частичной устойчивости и управления

• Автор: Мартышенко, Юлия Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нижний Тагил
• Количество страниц: 109 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава Е Условия частичной детектируемости нелинейных

динамических систем

1Л. Условия детектируемости по части переменных

1.2. Условия детектируемости (по отношению к свойству устойчивости) «частичных» положений равновесия
1.3. Условия детектируемости (по отношению к свойствам квазиустойчивости и устойчивости по части переменных)

«частичных» положений равновесия

Глава 2. К теории частичной устойчивости нелинейных

динамических систем

2.1. Условия устойчивости по части переменных при не малых возмущениях неконтролируемых переменных
2.2. Условия устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия
2.3. К унификации исследований частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем
Глава 3. К нелинейной игровой задаче одноосной переориентации
асимметричного твердого тела
3.1. Одноосная переориентация при помощи трех пар двигателей
3.2. Модификация метода решения задачи переориентации
3.3. Одноосная переориентация при помощи грех маховиков
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
1. Актуальность темы. Начиная с середины XX столетия бурное развитие получили задачи об устойчивости и стабилизации динамических систем по отношению к некоторой заданной части переменных (а не по всем переменным), определяющих состояние исследуемой системы.
Благодаря большой математической общности постановки, указанные задачи являются междисциплинарными и естественным образом возникают при моделировании многих явлений и управляемых процессов в самых разных разделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и других. Они часто называются также задачами частичной устойчивости (стабилизации).
Основополагающие результаты в данной области принадлежат В.В. Румянцеву [1—5], в работах которого заложены основы теории устойчивости по части переменных для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью, а также показана принципиальная применимость полученных результатов к задачам устойчивости более общих моделей систем, содержащих звенья с распределенными параметрами.
В последующих работах многих ученых теория и методы исследования устойчивости и стабилизации по части переменных получили определенное развитие; также решен ряд важных прикладных задач.
Достаточно полное представление о состоянии проблемы дают монографии [6-10], а также обзорные работы [11—17].
Проведенные исследования выявили принципиальные трудности, возникающие при изучении задач устойчивости (стабилизации) по отношению к части переменных, для преодоления которых потребовались существенно новые идеи, выдвинутые в ряде работ.

В частности, рамки использования метода функций Ляпунова в задачах устойчивости по части переменных для систем обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений удалось существенно расширить:
- введением разного типа «предельных» систем дифференциальных уравнений и «предельных» функций Ляпунова [18-24];
- построением разного рода вспомогательных систем дифференциальных уравнений [25,8-10];
- конкретизацией понятия Л-функции, знакоопределенпой по отношению к части переменных [26,9,10], и сужением допустимой области изменения «неконтролируемых» (при исследовании устойчивости) переменных [27,28];
- использованием метода функций Ляпунова в сочетании с асимптотическим методом усреднения [29-31].
Получил развитие применительно к задачам устойчивости по части переменных и первый метод Ляпунова. В данном направлении исследований получены условия устойчивости по части переменных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [27,32,33,34], по линейному приближению [32,35,36], а также в ряде критических случаев [36-39,34,28].
Расширился круг рассматриваемых моделей. Помимо систем обыкновенных дифференциальных уравнений задачи частичной устойчивости стали рассматриваться для дискретных [40—44], функционально-дифференциальных [45— 57], стохастических [58,9,59-61], импульсных систем дифференциальных уравнений [62-65], а также для абстрактных общих динамических систем в метрическом пространстве и нелинейных непрерывных полугрупп [66-70].
Были вскрыты и специфические особенности задач частичной устойчивости [8-10], проливающие свет на опасности, которые кроются на пути практического использования некоторых заманчивых теоретических результатов.
Оказалось также, что задачи устойчивости (стабилизации) по отношению к части и по отношению ко всем переменным тесно связаны между собой и дополняют друг друга при решении практических вопросов [6, 8-10].
С другой стороны, свойство частичной устойчивости в ряде случаев явля-

Указанные условия включают в себя условие равномерной асимптотической устойчивости «частичного» (по дополнительной группе переменных) положения равновесия подсистемы, «приведенной» по дополнительной и оставшейся группам переменных.
Поскольку в рамках полученных условий устойчивость по оставшимся неконтролируемым координатам фазового вектора остается неопределенной или исследуется дополнительно, то в данном случае имеет место нуль-детек-тируемость по отношению к части переменных исходной системы дифференциальных уравнений, а полученные условия дополняют ряд известных результатов по теории устойчивости по отношению к части переменных.
Рассмотрено приложение полученных результатов к задачам частичной стабилизации нелинейных управляемых систем, в частности, к задаче стабилизации асимметричного твердого тела относительно заданного направления в инерциальном пространстве.
Также получены условия, при которых равномерная устойчивость (равномерная асимптотическая устойчивость) по отношению к одной части переменных «частичного» положения равновесия нелинейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений означает равномерную устойчивость (равномерную асимптотическую устойчивость) по отношению ко всем переменным этого положения равновесия. В данном случае имеет место детек-тируемость «частичного» положения равновесия исходной нелинейной системы.
В отличие от ранее проведенных исследований [85-87], где условия частичной нуль-детектируемости формулируются или в контексте не всегда легко проверяемых требований к функциям Ляпунова, или требуют достаточно сложных преобразований исходной системы, предложенный подход позволяет получить легко интерпретируемые условия частичной детектируемости на основе анализа структурных форм непосредственно изучаемых систем. При этом метод функций Ляпунова используется лишь как средство получения таких условий.