Эффективные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка

• Автор: Дарбинян, Левон Сергоевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 86 c. : ил

ГЛАВА I. ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

§ I. Решение некоторых функциональных уравнений

в классе аналитических функций

§ 2. Задача Бицадзе-Самарекого в плоских односвязных областях

§ 3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости с круговым отверстием

§ 4. Смешанная краевая задача; для уравнения Лапласа

в полуплоскости с.круговым отверстием

I 2'1

§ 5. Задача Неймана для уравнения Лапласа в полуплоскости с круговым отверстием

Глава II. ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПУАНКАРЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
§ I. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями внутри области в классе
аналитических функций
§ 2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями на границе области в
классе аналитических функций
§ 3. Задача Пуанкаре для уравнения Лапласа в единичном круге
§ 4. Задача Пуанкаре для эллиптических уравнений второго порядка с комплексными постоянными коэффициентами вне круга и эллипса

§ 5. Задача Пуанкаре для уравнения Бицадзе в единичном
круге
ЛИТЕРАТУРА

1°. Теория краевых задач для эллиптических уравнений является важной составной частью теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеет многочисленные применения в задачах механики, газовой динамики, электродинамики, теории приливов и других отраслях науки.
Основополагающие результаты в теории эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными принадлежат И.Н.Векуа [9]-[12]. Он получил формулы, выражающие все регулярные решения уравнения
ди + аих + 6иу + си = О (I)
с аналитическими коэффициентами через аналитические функции одного комплексного переменного в односвязных и многосвязных областях и провел исчерпывающее исследование общих граничных задач для этого уравнения с данными из гельдеровского (Н) класса и непрерывных (С). Эти задачи были сведены к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям с помощью найденных им интегральных представлений для аналитических функций и получены условия нетеровости.
Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений являются работы A.B. Бицадзе [I] - [7]. Им построено [2], [7] общее решение эллиптических систем вида (I) и общая краевая задача для таких систем редуцирована к системе одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши. Отсюда, в частности, следует фредгольмовость задачи Дирихле с гельдеровскими данными.
В работе А.В.Бицадзе [2] показано, что в отличие от одного уравнения, в случае систем требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нетеровости

щения в явном виде. Эти результаты используются при решении третьей краевой задачи для эллиптических уравнений вне круга |г|<-1 (п.2, § 4, гл.П). Перепишем уравнение (2.46) в виде
^(2) является аналитической функцией в единичном круге тогда и только тогда, когда
Следовательно, однородное уравнение (2.4£) имеет одно нетривиаль
тельное число. В остальных случаях однородное уравнение имеет только нулевое решение.
Для исследования неоднородного уравнения (2.49) рассмотрим два случая.
I случай, н^-п, п. - целое неотрицательное число.
2 Ч'(г) + £(0) 4(2) + 2 у (2) 4(2) = ог(2), (2.4?)

В (2.47) сделаем замену искомой функции
4(2.) = 4*0(2) Ч'(г) ,
(2.48)

Тогда (2.47) примет вид
2'Ґ(2) + Н.Ч'(2) = ОГ0(г),
(2.49)
Решением однородного уравнения (2.49) есть
С - постоянная.
Н.= -іг (іг= ОД, 2,...)
ное линейно независимое решение, если К.= £(0) - целое неположи-