Стабилизация решений волнового уравнения в областях с бесконечными границами

• Автор: Филиновский, Алексей Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с.

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Убывание локальной энергии и спектральные свойства оператора Лапласа.
§1.1. Обобщенное решение смешанной задачи из энергетического класса. §1.2. Спектральное представление обобщенного решения из энергетического класса.
§1.3. Спектральная непрерывность оператора Лапласа и убывание средних от локальной энергии.
§1.4. Спектральная абсолютная непрерывность оператора Лапласа и убывание локальной энергии.
ГЛАВА 2. Условия излучения.
§2.1. Скорость убывания на бесконечности метагармонических функций в расширяющихся областях из классов
§2.2. Скорость убывания на бесконечности метагармонических функций в регулярно расширяющихся областях из классов §2.3. Условия излучения в расширяющихся областях.
§2.4. Условия излучения в регулярно расширяющихся областях.
ГЛАВА 3. Спектральная непрерывность оператора Лапласа.
§3.1. Рост 1-2 — норм метагармонических функций в расширяющихся областях.
§3.2. Рост 1/2 — норм гармонических функций в произвольных неограниченных областях.
§3.3. Спектральная непрерывность оператора Лапласа в расширяющихся областях.
§3.4. Убывание средних от локальной энергии в расширяющихся областях.
ГЛАВА 4. Спектральная абсолютная непрерывность оператора Лапласа.
§4.1. Принцип предельного поглощения и спектральная абсолютная непрерывность оператора Лапласа.
§4.2.'Оценки решений волнового уравнения в весовых пространствах Соболева.
§4.3. Оценки решений уравнения Гельмгольца по спектральному параметру в полуплоскости {1т к > 0}.
§4.4. Оценки решений уравнения Гельмгольца в регулярно расширяющихся областях в замкнутой полуплоскости {1тп к > 0}.
§4.5. Убывание локальной энергии в регулярно расширяющихся областях.
ГЛАВА 5. Поведение решений уравнения Гельмгольца при больших значениях спектрального параметра.
§5.1. Оценки решений уравнения Гельмгольца в случае регулярно расширяющихся областей.
ГЛАВА 6. Распределение плотности энергии решений волнового уравнения.
§6.1. Оценки снизу плотности энергии решений смешанной задачи.
§6.2. Оценки сверху плотности энергии решений смешанной задачи в регулярно расширяющихся областях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Пусть £1 С Rn, п > 2 — неограниченная область с границей Г € С2. Рассмотрим первую смешанную задачу для волнового уравнения
utt(t, х) - Au(t, х) — 0, (t, х) £ Q = (t > 0) xfi, (0.1)
и(0,х) = f(x), щ(0,х) = д{х), (0.2)
u(f,ж)|г=0, t > 0. (0.3)
Начальные функции будем предполагать вещественнозначными, гладкими в П, согласованными с граничным условием (0.3) и обладающими конечным интегралом
+ |V/(*)|2 + g2(x))dx < оо. (0.4)

Известно, что для решения задачи (0.1)—(0.3) справедлив закон сохранения энергии
En{t) = J [grad u(t,x)2dx = Еп{0), t > 0, (0.5)

grad u(t,x) — (ut(t,x)}’xii(t,x)) € Rn+l.
Одним из основных вопросов, изучаемых в диссертации, является вопрос об убывании локальной энергии решения задачи (0.1)—(0.3), т. е. о справедливости соотношения
En'{t) = J |grad u(t,x)2dx —> 0, t —> оо, (0.6)

для произвольной ограниченной области О' С П.
Сформулируем известные результаты. Рассмотрим вначале случай ограниченной Г. В [1] показано, что при п = 3 и произвольной ограниченной Г локальная энергия решений задачи (0.1)—(0.3) с финитными начальными функциями стремится к нулю. В монографии [2] этот результат установлен для всех п >2.
Если поверхность Г неограниченна, то убывание локальной энергии получено при дополнительных условиях на Г. А именно, в работах [3] (при

2 4 4 > °’
Соотношение (1.3.1) доказано с f2o = Пд
Теорема 1.3.2. Если onepamog L спектрально непрерывен, то для любых начальных функций f{x) Є ЇЙ/(12), g(x) Є Д2(12) и произвольной ограниченной области 12' С 12 выполнено соотношение

lim - / Еці{т)(іт =0. (1.3.2)
i-foo t J
Доказательство теоремы Т3.2. Соотношение (1.3.2) достаточно доказать при [(х),д(х) € <7°°(12). Действительно, для /(:г) £
Зэд, ям е зд и произвольного £ > 0 существуют ]{х),д(х) £ С00 (12), такие, что ||/ - /||(п) < е, ||з - 0. Поэтому
EnR{t) = [(u2t(t,x) + Vu{t,x)f)dx < nR
! Jx) + |Vw(2,x)2)dx+

+2 I (((u(t,x) - ü(t,x))t)2 + IV(u(t,x) - ü(t,x))2)dx
= 2 J (üf(t,x) + jVü(t,x)j2)dx + 2(||/ - /|Ги/2і(П) + Ц.9 -<2 I(ü2(t,x) + 4ü(t,x)2)dx + іє, t > 0.
Следовательно, при доказательстве соотношения (1.3.2) можно считать f(x),g(x) £ С,00(Г2). Для д{х) £ С°°(12) имеем равенства
оо оо
(гг4(2,х),9(т))2(п) - - J sin '/t'/Xd(E(X)f, q) + j cos Vtd(E{X)g,q)