Стабилизация билинейных динамических систем

• Автор: Шепитько, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Стабилизация билинейных систем в классе постоянных управлений.
§ 1.1. Постановка задачи. Критерий Найквиста в
задачах стабилизации
§ 1.2. Стабилизация двумерных билинейных систем
§ 1.3. Стабилизация двумерных билинейных систем
при векторном управлении
§ 1.4. Стабилизация п-мерных билинейных систем
методом глубокой обратной связи
§ 1.5. Примеры
Глава 2. Стабилизация билинейных систем в классе кусочно-постоянных управлений.
§ 2.1. Робастная стабилизация вырожденных систем со вторым относительным порядком
§ 2.2. Робастная стабилизация вырожденных систем с первым
относительным порядком
§ 2.3. Достаточные условия релейной стабилизации
билинейных систем
§ 2.4. Метод вращающих функций Ляпунова
§ 2.5. Примеры
Глава 3. Наблюдатели билинейных систем.
§ 3.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. 65 § 3.2. Условия наблюдаемости
§ 3.3. Наблюдатели состояния для
вырожденных билинейных систем
Литература

Введение.
Билинейные динамические управляемые системы выделились в самостоятельный подкласс нелинейных динамических систем в 1973 году после выхода в свет монографии R.R.Mohler [45]. В этой работе впервые достаточно убедительно и на многочисленных примерах было показано, что билинейные системы вида

x = Ax + Y,Ui(Blx + V) + f (0.1)

где А, В1 £ R пХп - вещественные матрицы, х £ К п - фазовый вектор, Ьг £ R п - постоянные вектор-столбцы, щ - скалярные управления, / - некоторая функция, с достаточно высокой точностью описывают детальное поведение широкого класса реальных процессов: от технических или физических до социально-экономических. Аналогичной точности описания поведения в целом от линейных моделей добиться, конечно, невозможно, поэтому изучение уравнений типа (0.1) привлекло значительное внимание специалистов по теории систем и управлению. Быстро выяснилось, что, во-первых, билинейные управления довольно естественно возникают локально при линеаризации гладких нелинейных динамических систем по фазовой переменой [55], в задачах параметрического [25], [36], [37], в том числе адаптивного, управления [20], [56], а также в задачах идентификации и многоуровневого управления.
Теоретическим обоснованием ’’хороших” аппроксимативных возможностей билинейных систем явилась теорема M.Fleiss, согласно которой поведение достаточно общего вида нелинейных динамических систем может сколь угодно точно аппроксимироваться билинейными динамическими системами, вообще говоря, более высокого порядка. С выхода этой работы началось серьезное исследование билинейных систем.
В работах Isidori A., d’Alessandro Ruberti A., Grassellio и Nicolo [25], [36], [37] рассматривались вопросы об областях достижимости и наблюдаемости билинейных систем общего положения, т.е. вида (0.1) при Ьг ф 0 и / ф 0, в работах [11], [16], [43] основное внимание было уделено вопросам управляемости. Исследовались возможности

стабилизации таких систем программным управлением. Позже в работах [8], [9] [47], [49] - [51], [27], [31], [40] при различных предположениях рассматривалась асимптотическая или экспоненциальная стабилизация с помощью обратной связи по состоянию или линейному выходу [14]
у = сх. (0.2)
Значительное внимание было уделено квадратичным законам стабилизации [46]
и = -хт(2х, (0.3)
где <5 - некоторая подходящая пх п - матрица. Было, однако, выяснено, что обратная связь вида (0.3) не гарантирует экспоненциальной устойчивости замкнутой системы, а только асимптотическую устойчивость с убыванием порядка [47]. Поэтому в дальнейшем рассматривались различные ограничения на функцию управления с тем, чтобы добиться экспоненциальной стабилизации, и, конечно, в целом.
Типичным законом обратной связи, решающим поставленную задачу, является закон типа
I о, 1М1 = о,
т.е. равномерно ограниченные обратные связи [41], [44] Основное
ограничение при таком подходе состоит в требовании устойчивости
(не обязательно асимптотической) билинейной системы при нулевом управлении. То есть, фактически, систему, находящуюся на границе устойчивости, научились делать асимптотически, а иногда, и экспоненциально, устойчивой за счет ограниченного управления [48]. При этом, конечно, задачи об обеспечении заданной степени устойчивости или робастности (т.е. стабилизации при конечных возмущениях параметров и внешних сил) даже не рассматривались. Стоит отметить, что для решения проблем синтеза таких обратных связей применялись весьма нетрадиционные для теории обратной связи методы, в частности теория показателей Ляпунова [33], [34], [41], теория дискретно-импульсных систем [38].

Замечание. Как известно из курса линейной алгебры в прямоугольных координатах у линии второго порядка существует три инварианта. Один из них, обозначим его I, - произведение собственных значений матрицы квадратичной части, в нашем случае - матрицы С} (I = с1еКЗ). Если 10, то существует такое преобразование координат
й = Ни + и,
(матрица Н - ортогональная) что второе неравенство (1.3.2) преобразуется к следующему виду
+ А2Д2 + До > О,
где символами А1 и А2 обозначены собственные значения матрицы (. Доказанная Лемма 3 указывает условие стабилизируемости системы, когда I < 0.
Если / > 0, А1 < 0, А2 < 0, ао > 0, то второе неравенство системы (1.3.2) определяет часть плоскости, ограниченную эллипсом. В этом случае существуют три варианта взаимного расположения геометрических мест точек, определяемых неравенствами системы
(1.3.2):
1. Эллипс полностью лежит внутри полуплоскости.
2. Эллипс частично лежит внутри полуплоскости.
3. Эллипс не лежит внутри полуплоскости.
В первом случае любое решение второго неравенства системы
(1.3.2) является решением первого неравенства. В частности, точка (0,0) (в координатах (мйг)) должна удовлетворять первому неравенству. Последнее означает, что выполнено следующее условие
< I, Н~ги > — ИД > 0.
Во втором случае эллипс и прямая имеют две точки пересечения и вместо системы неравенств (1.3.2) можно рассматривать систему равенств
|-<;,«>-*гд
( < С}и, и > + < И, и > + с!е! А = 0,
Условие стабилизируемости в этом случае эквивалентно условию существования двух решений этой системы.