Обоснование методов усреднения и замораживания для систем уравнений в конечных разностях

• Автор: Драган, Владимир Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Кишинев
• Количество страниц: 140 c. : ил

ГЛАВА I. МЕТОДЫ ПОЛНОГО И ЧАСТИЧНОГО УСРЕДНЕНИЯ С ВЕСОМ

СИСТЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Усреднение с весом систем конечно-разностных

уравнений

§ 2. Частичное усреднение систем конечно-разностных

уравнений

§ 3. Усреднение с весом систем конечно-разностных

уравнений не разрешенных относительно разности

Глава II. МЕТОДЫ УСРЕДНЕНИЯ И ЗАМОРАЖИВАНИЯ СИСТЕМ СУММАРНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Методы усреднения и замораживания начальной задачи для систем суммарно-разностных уравнений

§ 2. Усреднение и замораживание начальной задачи для

систем суммарно-разностных уравнений не разрешенных относительно разности
§ 3. Применение методов усреднения и замораживания
для решения многоточечных краевых задач для систем суммарно-разностных уравнений
§ 4. Методы усреднения и замораживания многоточечных
краевых задач для систем суммарно-разностных...уравнений не разрешенных относительно разности
§ 5. Частичное усреднение и замораживание систем суммарно-разностных уравнений
Глава III. МЕТОДЫ УСРЕДНЕНИЯ И ЗАМОРАЖИВАНИЯ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ РАЗНОСТЯХ
§ I. Принцип усреднения конечно-разностных систем
уравнений в частных разностях

§ 2, Методы усреднения и замораживания систем суммарноразностных уравнений в частных разностях
§ 3. Усреднение и замораживание систем суммарно-разностных уранений не разрешенных относительно старшей разности
ЛИТЕРАТУРА

В последнее время усилился интерес к теории систем уравнений в конечных разностях и методам приближенного решения этих систем. Это связано с тем, что уравнения в конечных разностях оказались весьма удобной моделью для описания дискретных динамических систем, а также для математического моделирования импульсных систем.
Для изучения непрерывных динамических систем был предложен метод усреднения, являющийся одним из широко применяемых асимптотических методов, позволяющий существенно упростить исходную задачу.
Строгое обоснование этого метода, разработанного еще в трудах создателей небесной механики, дано в известных исследованиях Н.М.Крылова, Н.Н. Боголюбова и Ю, А. Митропольского [17,] [б], [’]•[8].
Под влиянием фундаментальных идей Н.Н.Боголюбова метод усреднения получил дальнейшее развитие и обобщение в работах И.И.Гихмана [12] , Б.П.Демидовича [15] , М.А.Красносельского и С.Г.Крейна [1б] , Ф.С.Лось [19] и ряда других исследователей С 10], [13],[14], [24] ,[28]
Методы усреднения и замораживания начальной задачи для систем интегральных и интегро-дифференциальных уравнений были впервые разработаны и обоснованы в работах А.Н.Филатова [25] ,
[ 30] -[зб] и получили дальнейшее развитие в[з] , [4], [18], [38], [39].
В работах Д.Д.Байнова и С.Д.Милушевой [I] , [ 2] , [ 22] ,
[ 23 ] , метод усреднения применен для решения систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с многоточечным краевым условием.

следующим условиям:
1) для всех П>0, 5^0 И для любых точек
существуют положительные постоянные М и я , функция ^(п7 3) такие, что
ЧХ(п,х7у)Ц + М-, ЦХ(п,х,у)-Х(п, /)11 ^я[Цх-зо'Ц+IIу-у'//],
№(п,в,х)~1р(п,5,х.')11 £ р (п,х)Цх-х'1,
п-1 V
ЛЛ ^ (т>$) ^ п$(п), (р(п)^>- О, п—»
Т=0
2) существует такое Х01(х) , что равномерно по хе1)
Пт IIIЛ {Х(т,х X Ч>Сс, 5, х))-Х (х)}Ц= О
Л'-*00 ' Т=0 5
Тогда, если %(п) -решение системы (4), определенное при всех п > О и принадлежащее с некоторой ^-окрестностью области Ъ , а х(п) решение системы (I), имеющее с £(п) одинаковые начальные значения, то для любых ^>0 и А>0 существуетед>0 такое, что для 0<£££о при Ойп^ Е(££~1) справедлива оценка
Цх(п)-4(п)Ц <у
Доказательство. Для решений задач (I) и (4) можем писать
П-1 "С
х(п)=х0+еЛ х (с, эс(т)г XX 4>('с,в,х:(ь))), />
Т-О 0

£,(п)~х0 + еЛ Х01(£,(т)), п>^1.

Отсюда
п-1 -Г
Цх(п)-$(п)Ц£еЛ 1[х(т,х(т), Л 5,X(*)))-
Т=0 5
-х(т,$(т)} л ?&,№&]!+еЛ Ц[х&АСс), Л г(ъ*,$(*)))-
5=0 Т=о 5
-х(т,$(т)} Л [х(т,$(т); Л^(т>$,№))-
5=0 Т=0 5
-X, ,т]1,п>,1. (5)
Оценим каждое слагаемое в правой части (5). Имеем