Симметрии и точные решения дифференциальных уравнений пластичности

• Автор: Киряков, Петр Петрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 106 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Инвариантные решения стационарных уравнений пластичности среды Мизеса
1. Построение оптимальных систем подалгебр
1.1. Присоединенная алгебра и автоморфизмы
1.2. Оптимальная система одномерных подалгебр
1.3. Оптимальная система двумерных подалгебр
1.4. Оптимальные системы подалгебр высших размерностей
2. Инвариантные решения
2.1. Инвариантные решения ранга
2.2. Инвариантные решения ранга
2.3. Инвариантные решения ранга О
Инвариантные решения нестационарных уравнений пластичности среды Мизеса
1. Оптимальная система подалгебр и инвариантные решения ранга
2. Инвариантные решения уравнения антиплоского пластического течения
2.1. Построение оптимальных систем подалгебр
2.2. Инвариантные решения
Точное решение задачи Коши для уравнений плоской пластичности среды Кулона
1. Общее исследование системы
1.1. Предварительные сведения
1.2. Точечные симметрии
1.3. Высшие симметрии
1.4. Законы сохранения
1.5. Инвариантные решения

§ 2. Метод решения задачи Коши для квазилинейных гиперболических систем
2.1. Общее изложение метода
2.2. Пример применения метода
§ 3. Решение задачи Коши
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Пластическое деформирование твердых тел характеризуется непропорциональностью зависимости между внешними силами и деформацией тела, что приводит к достаточно сложным нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелинейных дифференциальных уравнений пластичности.
Исследование систем дифференциальных уравнений с частными производными методами группового анализа относится к актуальным направлениям теории уравнений математической физики.
Основоположником данного направления считается известный норвежский математик С. Ли, классические результаты которого позволили трансформировать интуитивное понятие симметрии в строгий теоретико-групповой метод решения дифференциальных уравнений.
Л.В. Овсянниковым около сорока лет тому назад было начато систематическое изучение применения групп Ли к анализу структуры множества решений дифференциальных уравнений механики и физики.
В настоящее время методы группового анализа широко применяются ко многим конкретным дифференциальным уравнениям.
В институте гидродинамики СО РАН (Новосибирск) под руководством Л.В. Овсянникова [21, 24], проводится программа ПОДМОДЕЛИ [22], в рамках которой исследуются уравнения газовой динамики. Коллективом авторов изучаются модели: относительно уравнения
состояния общего вида [23], барохронные движения газа и небаро-хронные подмодели, случаи политропного и вязкого теплопроводного газов.
В Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск) теоретико - групповые методы применяются в гидродинамике. Группой ученых в составе В.К. Андреева, О.В. Капцова, A.A. Родионова, Ю.В. Шанько изучаются групповые свойства уравнений однородной и неоднородной жидкости в переменных Лагранжа [2], исследуются также нестационарные трехмерные уравнения Эйлера

В работах Б.Д. Аннина, С.И. Сенашова [3, 4] с использованием методов группового анализа построены классы точных решений

и = г77(£), г; = гУ(£) + г0,гу = = Р(£) + 7# + /01п г.
№ 26. а ф О
J = (г, и, V — а~1гг,ь) — а~1/3г,р — рв — /гг).
и = 11(г),у — У(г) + а_1гг, ги = ТУ (г) + а~~1Рг,р = Р(г) + рв + рг.
№ 27.
<7 = (г, гг, V — г0, гс — в — аг,р — уб — рг).
и = и(г),у = V (г) + гв, и; = Ж(г) + б + аг, р = Р(г) + 7# + />г.
№ 28.
«/ = (г,и,г) — атг,ги - аг,р — 76 — рг).
и = и(г),у = У(г) + атг, иі = ]¥(г)-- аг,р = Р(г) + 76 + рг.
На основании изложенного выделим три типа фактор-систем ранга

I. Фактор-системы с независимой переменной г.
В этом случае искомые функции зависят от одной переменной г. Решения описывают пластическое течение цилиндрических тел при различных нагружениях.
Ряд таких решений приводится в работе М.А.Задояна [9].
Если компоненты тензора напряжений зависят только от г, решение уравнений (1.6)-(1.10) сводится к квадратурам.
Рассмотрим общую двумерную подалгебру (Н,Н2)} включающую в себя при различных значениях констант а, /3,7,8 подалгебры из оптимальной системы двумерных подалгебр (см. табл. 1.4.), где
Н1 = «Уі + /ЗТі + + р5, #2 = Хг + 7У1 + 5Тг + рБ.