Аттракторы уравнений Навье-Стокса

• Автор: Ильин, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 234 с. : ил.

1 Введение
2 Размерность инвариантных множеств
2.1 Оценки фрактальной размерности инвариантных
множеств
2.2 Приложения к полугруппам и дифференциальным уравнениям
3 Размерность аттракторов уравнений Навье-Стокса
3.1 Размерность аттрактора системы Навье-Стокса в
двумерной области с ограниченной мерой
3.2 Размерность аттрактора в задаче Колмогорова
3.3 Двусторонняя оценка размерности аттрактора
системы Навье-Стокса на вращающейся сфере
3.3.1 Уравнения Навье-Стокса на римановом многообразии
3.3.2 Уравнения Навье-Стокса на сфере. Оценка сверху
3.3.3 Уравнения Навье-Стокса на сфере. Оценка снизу
3.3.4 Добавление. Полиномы Лежандра и сферические гармоники
3.4 Точные двусторонние оценки размерности аттрактора уравнений Эйлера с трением и исчезающей вязкостью
3.4.1 Точная двусторонняя оценка для периодической задачи
3.4.2 Уравнения на сфере и в ограниченной области
4 Усреднение
4.1 Общая теорема об усреднении
4.2 Глобальное усреднение
4.3 Примеры глобального усреднения
4.3.1 Уравнения Навье-Стокса
4.3.2 Гиперболическое уравнение с диссипацией

4.3.3 Система реакции-диффузии
5 Неравенства
5.1 Оценки снизу для спектра оператора Стокса
5.2 Точные постоянные в одном классе неравенств для производных
5.2.1 Неравенства для производных в КС и на сфере §”
5.2.2 Примеры точных неравенств
5.2.3 Более простая задача: аддитивные неравенства
5.3 Оценки и интегральные неравенства Либа-Тирринга
5.3.1 Неравенства Либа-Тирринга для ортонормированных и
субортонормированных систем
5.3.2 Неравенства для вектор-функций
5.3.3 Неравенства на двумерном торе
5.3.4 Неравенства Либа-Тирринга на сфере
Литература
Глава 1 Введение
Двумерная система Навье-Стокса вероятно является наиболее известным и популярным примером дифференциального уравнения математической физики. обладающее аттрактором в подходящем фазовом пространстве. Более того, большая часть теории аттракторов бесконечномерных динамических систем зародилась и получила свое развитие с исследования именно этой системы уравнений, математическая теория которой (глобальное существование. единственность, регулярность решений и т. д.) была к тому времени достаточно хорошо разработана в известных монографиях Ладыженской [28], Лионса [36]. Вишика и Фурсикова [11], Темама [51] и многих других.
Существование предельного инвариантного множества, характеризующего при больших значениях времени поведение всех решений системы Навье-Стокса в ограниченной двумерной области с гладкой границей было доказано Ладыженской [29]. Затем Бабиным и Вишиком было замечено, что это множество при больших значениях времени является притягивающим. Это множество получило название аттрактора, причем Бабин и Вишик [4] ввели термин максимальный аттрактор (подчеркивая этим, что оно максимально среди строго инвариантных компактных множеств). Ладыженская, напротив. назвала его минимальным В-аттрактором (подчеркивая этим, что оно минимально среди строго инвариантных множеств, притягивающих в фазовом пространстве любые ограниченные множества). Использовались также эпитеты универсальный, глобальный и т. д. Речь же шла об одном и том же объекте.
Пусть в гильбертовом пространстве И действует полугруппа непрерывных операторов St : Н —> Н, t > 0, Во = Ы, Бь+Т = Б) о 5Т. Полугруппа 5), как правило, является семейством разрешающих операторов = и(Ь), соТеперь согласно следствию 2.2.2 (заметим, что также применимо и следствие 2.2.4) справедлива оценка сНшд А < й*, где /(<Д) = 0:
Второе неравенство в (3.1.5) следует из оценки А1 > 27г/|0| (см. (5.1.4)).
Докажем вторую часть теоремы о том, что из условия (3.1.6) следует тривиальность динамики. Заметим сначала, что если
то в силу (3.1.6) с1ш1рЛ < 1, и тривиальность динамики следует тогда из последнего утверждения теоремы 2.1.3. Следующие рассуждения немного уточняют эту оценку.
Пусть и любое стационарное решение уравнения (3.1.2). Из (3.1.7) следует, что
Любое решение го(£) уравнения (3.1.2) представим в виде го(4) = и + г>(Д. Тогда о(£) удовлетворяет уравнению
До + рАу + В (у, у) + В(у,й) + В(й,у) = 0.
Умножая скалярно на у и используя (3.1.4) и оценку (3.1.15) трилинейной формы Ь из следующей леммы 3.1.3, получаем
гсйгг! <
(3.1.12)
Д||о||2 + 2г/||кТоЦ2 = 2Ь(у,у,и) < 2сь ||о|||| пИюЦЦ го!гг|| <
г^|| гобг;)|2 + — |Н|2|| го!гг])2.

Из (3.1.12) и неравенства Пуанкаре получаем
Выражение в скобках отрицательно, если

\Р2