Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем

• Автор: Абдусаламов, Халимбек Абдусаламович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 71 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ ПОСТРОЕНИЯ
§ 1. Постановка общей проблемы
§ 2. Матрица Грина вспомогательной спектральной задачи
§ 3. Оценки функции Грина, полюсы
§4. Леммы об основных интегралах, связанных с матрицей Грина
§5. Интегральное представление и разложения в ряды непрерывной вектор-функции
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ И ЕЕ ОЦЕНКИ
§ 1. Представление решения через функцию Грина
§2. Разложения в ряды
§3. Оценки решения линейной смешанной задачи
§4. Оценка производной решения линейной задачи
§5. Леммы о дифференцируемости специальных интегралов
ГЛАВА III. СВЕДЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И ЕЕ РАЗРЕШИМОСТЬ
§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение задачи (1)-(3)
§2. Система интегральных уравнений
§3. Заключительные теоремы
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Изучение смешанных задач для параболических уравнений относится к классическим проблемам уравнений математической физики. Разные аспекты этой проблемы не покидают поле деятельности многих математиков. Так укажем работы [15], [16], [25], [28], [32] относящиеся к случаю линейных задач. В последние годы наметилась интенсивность в изучении задачи для нелинейных параболических уравнений. Это вызвано в частности их многочисленными приложениями: в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [6], [33]-[36].
Известны ряд методов решения смешанных задач, хорошо отражающие и развитие математической науки, метод интегральных преобразований, операторные методы, метод Г алеркина, метод конечных разностей, метод Фурье и другие, см. [7]-[9], [14], [15], [25], [32]. Отметим важные фундаментальные исследования О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой и их учеников, [19]-[21] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида методом априорных оценок. Особое место принадлежит также методу Фурье, связанному с большим математическим аппаратом и являющимся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных задач с разделяющимися переменными получены В.А.Ильиным [16].
В работах С.Н.Бернштейна, З.И.Халилова, Ю.Ф.Коробейника и их последователей [9], [13], [18], [22], [29], [30], разработан обобщенный метод Фурье, сводящий решение как линейных так и нелинейных задач к решению бесконечной системы интегральных уравнений.

Разрешимость этих уравнений исследуется в определенных банаховых пространствах. Необходимым условием реализации этого метода является «самосопряженность главной пространственной части задачи».
Отметим, что в работах предыдущих авторов, относящихся к обобщенному методу Фурье для нелинейных задач, случай задачи для параболических систем вообще не рассматривался ввиду несамосопряженности ее пространственного оператора.
В данной диссертации перенесен на случай плоских параболических систем метод решения, предложенный А.И.Вагабовым, [10]-[12]. Этот метод является дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье предыдущих работ и действует в комбинировании с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Существенным отличием диссертации является также то, что в ней удалось построить решение линейной части задачи в виде суммы простого ряда экспонент. Это обстоятельство определяет конструктивный характер всех последующих построений и теорем, в отличие, скажем, от работ относящихся к методу априорных оценок. Квазилинейная задача сведена нами к системе двух матричных интегральных уравнений (а не к бесконечной, как в традиционном обобщенном методе Фурье), решаемой по алгоритму последовательных приближений. Простота построенной системы, вместе с полученными оценками решений в линейном случае, позволила, при минимальных требованиях на нелинейные слагаемые (не предполагающих априорных ограничений роста /(?,х,у,у), доказать в нашем случае теорему существования и единственности и явно указать простые выражения временных границ в этой теореме.
В ходе решения задачи разработан новый значительный аналитический аппарат, представляющий самостоятельный интерес.

+ Ііт
«о 2л:V-
[ел-х(2А+2+1ф(К-
1 0 [к=Оі
- Ііт- ІІЕ К'-Ц2*+2-хЧ)4ф+
«о 2лл/-Т
о и=°х
ї.от_7І 'ґіу Г &-фк+2<ї-хил '-*0 2п1 * [£01
+ Пт
сікМ£№.
Равномерная сходимость интегралов по Я оправдывает перестановки порядков интегрирования. Вычисляя интегралы по Я согласно леммы 2, имеем:
Ф (х)=НтИ-/е 41 ф{-Пт—е
і~>о 2 пі ,-*п ' *' 'тті :
І I А Я.00. - я

«о 2 V лі

у I Д Я 00 — (22+2+_>: 2)
+ 1іт-л — [У< «о2 Мт

г ГГ 1 оо (2к+2-х-£,)2 А
— Г£е 41 ф(К +
«О 2 V ЛҐ Д
Г—/ ю _(Л+2+Ы2_/(
+ Нт—Л—[Уе * ф(0с/.
0 2 І 71(0
(27)
Сформулируем теорему.