О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерного многообразия с поверхностными базисными множествами

• Автор: Левченко, Юлия Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Содержание
Введение

Формулировка результатов

1 Вспомогательные сведения

1.1 Динамические факты

1.2 Топологические факты

1.2.1 Накрытия. Поднятия

1.2.2 Универсальное накрытие поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой

1.2.3 О вложении поверхности в трехмерное многообразие.

1.2.4 Локально тривиальные расслоения

2 О структуре 3-многообразия, допускающего А-

диффеоморфизм с двумерным поверхностным неблуждающим множеством.
2.1 Формулировка результата
2.2 Существование структуры докально тривиального расслоения (доказательство леммы 2.1)
2.3 Доказательство классификационной теоремы (теорема

3 О топологической классификации диффеоморфизмов на
3-многообразиях с поверхностными двумерными базисными множествами

3.1 Класс Ф модельных диффеоморфизмов и алгебраический
критерий топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса Ф
3.2 Инварианты объемлющей Г2-сопряженности диффеоморфизмов класса (
3.3 Топологически когерентные диффеоморфизмы
3.4 Существование одномерного слоения структурно устойчивого диффеоморфизма / из класса С
3.5 Построение диффеоморфизма из класса б, который не является структурно устойчивым
4 Диффеоморфизмы трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами
4.1 Схема постороения структурно устойчивого диффеоморфизма с одномерным поверхностным базисным множеством.
4.2 О существовании граничных периодических точек одномерных поверхностных аттракторов
4.3 Условия топологической сопряженности ограничений А-
диффеоморфизмов на носители одномерных базисных множеств
4.4 О топологической классификации диффеоморфизмов
трехмерной сферы с одномерными поверхностными базисными множествами
4.5 О структуре трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизмы с одномерными базисными множествами.
Список литературы
Предмет исследования. В данной диссертации рассматриваются диффеоморфизмы, заданные на замкнутых многообразиях размерности три. Основное внимание уделяется исследованию Л-диффеоморфизмов, в предположении, что их нетривиальные базисные множества являются поверхностными.

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории динамических систем — топологической классификации каскадов на многообразиях.
История вопроса. Проблема топологической классификации диффеоморфизмов связана с одним из основных разделов качественной теории динамических систем — нахождении топологических инвариантов, определяющих разбиение многообразия на траектории с точностью до топологической сопряженности.
Два диффеоморфизма / : X -> X, д : X —> X называются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм к : X —> X, такой, что р(Л(т)) = к(/(х)), гомеоморфизм И при этом называется сопрягающим.
Непосредственная проверка топологической сопряженности двух диффеоморфизмов является, вообще говоря, невыполнимой задачей. Поэтому возникает актуальная проблема нахождения обозримых топологических инвариантов (некоторых объектов или свойств диффеоморфизма, сохраняющихся при топологической сопряженности) таких, что совпадение инвариантов двух диффеоморфизмов гарантирует их сопряженность. Под топологической классификацией некоторого класса О диффеоморфизмов понимается решение следующих задач:
• нахождение топологических инвариантов для диффеоморфизмов из выделенного класса С;
• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух диффеоморфизмов из выделенного класса;
• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя, принадлежащего

Пусть Мп — гладкое компактное п-многообразие.
Определение 1.11 Пусть / : Мп —> Мп —- диффеоморфизм. Замкнутое /-инвариантное множество Л С int Мп называется гиперболическим, если существует непрерывное D/-инвариантное разложение касательного подрасслоения ТдМ" в прямую сумму
Е%® Е, dim Еьх + dim Ех—п (х Е Л) (1.1)
такую, что
\Dfk(v)\ О, \Df-k(v)\ 0 для некоторых фгиксированных c>0u0 Следующее наблюдение связано с понятием частичной гиперболичности, которое является естественным обобщением равномерной гиперболичности и его изучение относится к началу семидесятых (см., например, [33], [10]). Некоторые работы, появившиеся в девяностые годы, сделали понятие частичной гиперболичности одним из центральных в теории динамических систем за последнее десятилетие. Напомним (см, например, [10], [30]), что диффеоморфизм g на М3 называется частично гиперболическим, если существует непрерывное разложение касательного расслоения ТЛ/3 = Es ф Ес © Еи, инвариантное относительно Dg, где dim, Es — dim Er = dim Eu = 1, причем сильное растяжение в неустойчивом направление Еи и сильное сжатие в устойчивом направлении Es превышает сжатие или растяжение в центральном направлении Ecl. При этом g является динамически когерентным, если существует ^-инвариантное слоение касательное к Ers = Еь 0 Ес, Еса = Ес ф Еа,{\, следовательно, также к Ес).
Простейшими примерами гиперболических множеств являются, прежде всего, гиперболические неподвижные точки каскада, которые
1 Более точно, диффеоморфизм / называется частично гиперболическим, если существует N £ N и £)Н и \DgNB‘\ < 1 < HösHejII для каждого х £ М3.