Отслеживание движений стохастических систем с последействием

• Автор: Котельникова, Анна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 199 с.

Глава I. Постановка задачи

§1. Уравнения движения х-объекта и г-модели

§2. Уравнение движения для рассогласования

Глава II. Второй метод Ляпунова для задач устойчивости

наследственных систем

§3. Функционалы Ляпунова для задач устойчивости систем

с последействием

§4. К методу функций Ляпунова для задач устойчивости

в системах с последействием

§5. Комментарий к параграфам 3,4

§6. Комментарий к параграфам 3, 4 для одного

нестационарного случая
I §7. Квадратичные функционалы Ляпунова
§8. Квадратичные функционалы Ляпунова II
I §9. Квадратичные функционалы Ляпунова III.
Стационарный случай
§ 10. Квадратичные функционалы Ляпунова III.
Нестационарный случай
§11. Один частный тип функционала Ляпунова
в нелинейном случае
§ 12. Функционалы Ляпунова на каскаде
линеаризованных уравнений
Глава III. Стабилизация отслеживания и лидирования движения
х-объекта движением г-модели
§ 13. Формирование процесса в детерминированном варианте
§ 14. Устойчивая близость между х-движением
и г-движением; детерминированный вариант
§15. Функционалы Ляпунова на движениях
в наследственных стохастических системах
§16. Устойчивая близость между х-движением и г-движением;
стохастический вариант
§17. Устойчивая близость между х-движением и г-движением;
стохастический вариант II
§18. Устойчивая близость между х-движением и г-движением;
стохастический вариант III
§19. Отслеживание и лидирование х-движения г-движением, детерминированный вариант, смешанные воздействия,
неограниченное время
§20. Вычислительная схема формирования процесса
§21. Одна модельная задача
Литература.

Предыстория и актуальность темы. В диссертации исследуется проблема устойчивого управления системой, складывающейся из управляемого объекта и лидирующей модели. Эволюция системы описывается дифференциальными уравнениями с последействием. Объект подвержен влиянию случайных обстоятельств. Система работает в условиях неопределенности или конфликта.
Во многих моделях реальных эволюционных систем будущие состояния определяются не только текущим состоянием, но также и историей процесса. К тому же реальные процессы часто оказываются вероятностными. Последействие и стохастический характер процесса может определяться природой самого объекта. Случайный характер эволюции может определяться и внешними динамическими помехами. Неопределенные случайные помехи могут погашаться стохастическими управляющими воздействиями. В управляемых системах информация о прошлом может вводиться через систему обратной связи, когда информация только о текущем мгновенном состоянии системы представляется недостаточной для полноценного результата управления. К тому же информация может быть искажена случайными помехами. И тогда результат может быть улучшен за счет рационального наблюдения истории процесса, сложившейся к текущему моменту времени. Вдобавок, информация о прошлом может быть существенной при оптимизации по критерию, который таков, что удовлетворительный выбор управления требует знания истории движения.
Для систем, стохастических и с последействием, важна проблема устойчивости. Влияние прошлого и стохастические обстоятельства часто способствуют разбалансировке эволюции. Важным является исследование устойчивости системы как таковой. А если система по своей природе неустойчива, возникает проблема стабилизации.
Актуальность тематики подкрепляется тем, что наследственные модели и модели стохастические, а также модели, в которых объединяются оба названные обстоятельства, имеют значительные приложения в физике, технике, движении судов, автоматическом регулировании, экономике, биологии, медицине
Первые примеры дифференциальных уравнений с последействием были уже у Бернулли, Эйлера, Лапласа. Общепринято, что существенным шагом явились работы У.УоДегга по исследованию модели «хищник и жертва» и по вязкоупругости [148,149]. В этих исследованиях использовалась энергетическая функция - предтеча функционалов Ляпунова, которые получили развитие в исследованиях наследственных систем и, в частности, составляют основной аппарат в диссертации. Как ранний источник тематики предлагаемой работы, посвященной устойчивому управлению в нерегулярных условиях, надлежит указать работы ММтошку по стабилизации курса корабля и автоматическому управлению им [142]. Однако, принято считать, что исследование дифференциальных уравнений с

Таким образом, сколь угодно малая трансформация уравнения возмущенного движения (5.1) в уравнение (5.16) за счет параметра ц< 1, сколь угодно близкого к единице, превращает только устойчивость в равномерную асимптотическую устойчивость.
Итак, в рассмотренном примере при исходном предположении только о том, что непрерывный оператор Т(/,у(«)) из (3.1) является вполне непрерывным и функция у(у) (5.2) непрерывна, условие ^определенной отрицательности производной т(уИ) в дополнение к свойствам определенной отрицательности и бесконечного малого предела для функции т(у) оказывается недостаточным для асимптотической устойчивости невозмущенного движения уЩ = 0. В рассмотренном примере это связано с тем, что оператор Я(?,у(*)) не является ограниченным {равностепенно по ?) в каждой области |Х*)||С 5Я* <Я, 0<г<°о. Кроме того, хотя при каждом фиксированном значении г, рассматриваемый оператор Я(/, >>(•)) в области ||Х*)||С ^ Я* < Я удовлетворяет условиям Липшица по у(»):
|Я(*,/'(•)) - Я(/,У21(.))| < 1(Я’,0-||У11(*)-У2,(»)|С, 0 < I < оо, (5-19)
однако, эти условия не равностепенны по /, так как параметр ЦЯ*,г)-»°о при I-+ оо. И при этом оператор Я(/,>■(•)) не является равностепенно непрерывным по аргументу у(») при значениях г: 0 < / < оо. Поэтому для эффективного использования свойства определенной отрицательности правой верхней производной т+(г>Яб*]) в формулировки основополагающих теорем об асимптотической устойчивости к принятым выше исходным предположениям об операторе Я(г,у(»)) и функции Ляпунова т(/,у) дополнительно вводились некоторые предположения, например, предположения о равностепенных условиях Липшица по переменной >■(•) для оператора Я(г, у(*)) и о существовании непрерывных и ограниченных частных производных функции т(/,у) по аргументу у(») в области ||Х»)||С < Я' < Я. В качестве одного из корректных обоснований достаточности условия ^-определенной отрицательности производной для асимптотической устойчивости невозмущенного движения в достаточно общем случае стационарного оператора Я(у(*)) в уравнении (3.1) и стационарной функции Ляпунова у(у) в литературе признаются результаты работы [130].
Обсудим указанные сейчас обстоятельства для некоторых случаев уравнений возмущенного движения и функций Ляпунова в удобной здесь форме.
Справедливо следующее утверждение, несколько ослабляющее те условия Липшица на оператор Я(г,у(»)) (или - условия единственности решения уравнения (3.1)), которые предполагаются в известных аналогичных утверждениях.