Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Панфилова, Татьяна Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Оглавление
Введение
ГЛАВА 1. Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений
§1. Существование периодических решений систем дифференциальных уравнений в критических случаях
§2. Достаточные условия существования ненулевых периодических решений
ГЛАВА 2. Периодические решения систем дифференциальных
уравнений, зависящих от параметра
§1. Признаки существования ненулевых периодических решений
систем, зависящих от параметра
§2. Периодические решения систем дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейного приближения зависит
от параметра
ГЛАВА 3. Периодические решения нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений
§1. Условия существования периодических решений фиксированного периода нелинейных систем
§2. Критерии существования периодических решений, период которых зависит от параметра и начальных условий
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра с непрерывно дифференцируемой по фазовым переменным и параметру правой частью. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любых значениях параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений рассматриваемых классов систем с заранее неизвестным периодом, который является функцией начального значения и параметра, а также условий существования периодических решений фиксированного периода.
Эта проблема занимает одно из центральных мест в качественной теории дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей в физике, химии, биофизике и других науках [ 2, 21, 27, 34, 47, 48, 53-57 ].
Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Однако в силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Недостаточно изучена область критических случаев, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. В частности недостаточно исследована проблема существования ненулевого периодического решения, период которого зависит от начальных условий и параметра . В связи с выше изложенным, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в критических случаях является весьма актуальной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы, посвященной поиску достаточных

условий существования периодических решений в критических случаях.
Цель работы. Пусть заданы системы дифференциальных уравнений вида:
в которых .с е /?", е е К"' , К* - я- мерное действительное векторное пространство, е-параметр; А, А(е) -(« х«)-матрицы, А(а) -непрерывная по е матричная функция. /ДО) = 0,и, 0т - нулевая матрица размерности (их«), /(0„, £) = 0„, 0 „ - и - мерный вектор-столбец,
/{х,£) = /[(х,£)+/2(Х,£), где /;(х,£), /2(х,£-) -ОДНОрОДНЫв ВвКТОрНЫв
полиномы порядка к и т>к по х соответственно; g(x,e)
= я1х,О-форма по(х,е) порядка к, а =0,
где 2 = Со1оп(х,е) И порядок ПО X у вектор - функций £,(х,£), £2(х,£) выше первого, g(0,£) = 0.
В данной работе для изучаемых классов систем ставится задача поиска условий существования ненулевых периодических решений фиксированного периода р, когда система х=Ах имеет р-периодическое решение, и условий существования ненулевых решений, период которых зависит от начальных условий и параметра.
Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.
Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [52] и А. М. Ляпуновым [39]. Разрабо-
X = А(£)х + /(х, £) ,
X = g(x, £),
X = Ах + /(х, £) ,
х = Ах + А(е)х + /(х, е),
(0.1) (0.2) (0.3 ) (0.4)

2) для некоторого j € {l, п) столбец с номером j матрицы D из условия 1) теоремы 1.5 можно представить в виде: Q(a)s+o(s,a) + + х ЦаЦ*'1 = 0 равномерно по е ,
3) существует а = colon(Q
то система (1.35) имеет ненулевое р - периодическое решение.
Доказательство. Проводится по схеме, предложенной в теореме 1.5.
Рассмотрим функцию F(x,s), входящую в правую часть системы уравнений (1.35). Пусть F(x,e) = Fl(x,s)+F2(x,s), где F{(x,e) = = Fn(x)+Fl2(x,£), причем наименьший порядок по е у матрицы Fl2(x,s) равен / = 25+1, 5eiVu{0}. Матрица F2(x,e) имеет в нуле по л:более высокий порядок малости, чем F,{x,F) И Нт|г2(д,г)||х
х И'' = 0. Положим X {£) - некоторый полином, представимый в виде

Л О) = где Л,(е)- многочлен порядка i по £ , Fn(x, 0)= 0.

Обозначим Ф,(5) = X(s)j B~t)AB{t)dt,

Ф2{а,£) = JB-t){Fx(B{t)a,tfrF2{B{t)a,£))B{t)dt.

При этих предположениях условие существования р* - периодического решения системы (1.35) можно записать как
[ф,( Предположим, что для некоторого i е{, п) ;-й столбец матрицы, стоящей в квадратных скобках уравнения (1.42), допускает представление: