Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами

• Автор: Косиченко, Наталья Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предельный переход в системах с переменными малыми параметрами
§ 1. Вспомогательные утверждения
§2. Условие существования предельного перехода в случае
сингулярно возмущенных систем (п-Ьт)-го порядка
переменными малыми параметрами при производных в п уравнениях
§3. Условие существования предельного перехода в случае 40-57 переменных малых параметров для линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядка
§ 4. Системы третьего и четвертого порядка с переменными
малыми параметрами при старших производных в критических случаях
Глава 2. Применение теории оптимального управления для исследования предельного перехода в системах дифференциальных уравнений с малыми измеримыми параметрами при старших производных
§ 1. Вспомогательные утверждения
§2. Критерий существования предельного перехода в линейных 92— 108 системах с измеримыми малыми параметрами
I Гриложение
Литература
Введение
Многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной. Простейшим примером уравнения такого типа является
Цу = -ау + Р(0
- уравнение движения тела малой массы р в среде, обладающей сопротивлением, под действием силы Р(0 . а - коэффициент сопротивления.
Можно привести примеры и более сложных физических явлений, приводящих к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Такие задачи, например, естественным образом возникают там, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим.
Изучение явлений несколько иного рода, таких как разрывные колебания, также приводит к математической задаче, связанной с исследованием уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.
Вопрос о зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров возникает при решении ряда задач, встречающихся в теории автоматического ретуширования.
В ряде работ показано, что аппарат теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной может быть с успехом использован при исследовании гироскопических систем.
В [24] показано, что системами типа (х = Х(х,у
иу-Ч.х,у,1).
где р - малый параметр, х и у - векторы размерности п и гп соответственно, может быть описано движение оперенной ракеты с малым моментом
инерции, а также движение ракеты, у которой отношение экваториального
момента инерции к аэродинамическому восстанавливающему моменту мало.
Системами типа (1) описываются процессы, изучаемые в других
дисциплинах. Они встречаются и в экономике, и в математической теории
популяций, и в других областях исследований, использующих
дифференциальные уравнения (см.,например, [14]).
При расчете различных систем дифференциальных уравнений с малым
параметром довольно часто пренебрегают влиянием последних и в качестве
приближенного решения берут решение системы, в которой параметры
полагают равными нулю. Такая система обычно проще полной и часто может
быть проинтегрирована, в то время как полная система не интегрируется.
Возникает вопрос, в какой мере это действие законно?
Известно (см., например, [25]), что в случае непрерывной зависимости
правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений
х = Р(хД,р)
от параметра р решение полной системы уравнений может быть со сколь угодно высокой точностью представлено решением упрощенной системы уравнений
х = Р(х,рО),
если параметр ц достаточно мал. Этот вид зависимости решения дифференциального уравнения от параметра хорошо изучен. Поставленная задача исследована также и для некоторого ряда дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.
Одной из первых работ в этом направлении, согласно Тихонову А.Н. (см. [32]), была работа Чень - Юй - И (Уи-ШЬу-ТзЬеп). В работе рассматривалось линейное уравнение с переменными коэффициентами
м'(1)?+ь'йЗ+-+ь-У=0-
Было доказано, что решения у;(1) этого уравнения, определяемые условиями

+ } }— и(1,5,р0)Ру'(5,ро)У(81Р,|Л0)б8 р,(и,У,р,|Д0)бр
О _р М-0 J
= ,}-’-и(1,5,р0)О,(и,у,з>р0)б5+{К,(1,р,р0)О2(и>у,р,р0)бр
оМо О
= {— и0,8,Ц0)О|(и,У,5,Ц0)аз+|К1(55Ц0)О2(изУ,5,Ц0)а8 = д](и,У,1,Ц0).
о Мо О
Итак, получили
и(4, р„) = /КСЧ э, ц0 )и(з, р0 >Ь + (3, (и, V, I, ц0),
0 (29)
у(1,Ио)= (Чзщз.цРицз + ди.УЛцД

(}2 (и, У,1.И--)- /У(Т,Б4Д,в )в2 (и, V, Б, р0 )бэ
В силу неравенства
О,э,р10)]]<с при 0<8<а<т", о<р0 <р”,
которое нетрудно доказать (см. (28) и оценки для ЩМ,), У(1,з,ц0)), и двух свойств б, ив, интегральные операторы ОДи.у.Чр,,), С>2(и,у,1,рв) обладают свойствами
1. При 0<1< Т°, 0< р0 < ц°
(О.ОД.ц.ец
|02 (0,0,1, р,)||<сц0.
2. Для любого е > 0 существуют такие постоянные 8 = 5(е) и Р° = р"(е), ЧТО если ||и,(8,р0)||<5, |и2(з,ц0)|< 5, ||у,(з,р0|<5,
:!уг(ь.р5>*<й,0- ц,<р ,то
б(,)|ц .V ,!,ц0)' 0,(и.,уг,I,ц0)}<£тах|ц, -и2| + |у, - у2||), 1 = 1,2.
В самом деле,