Синтез быстрых управлений в линейных системах

• Автор: Минаева, Юлия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Аппроксимация импульсных и обобщённых управлений физически реализуемыми быстрыми управлениями
1.1 Введение
1.1.1 Обобщённые функции, основные понятия
1.1.2 Линейные системы с импульсным управлением
1.1.3 Линейные системы с обобщённым управлением
1.1.4 Линейные системы с импульсным управлением при неопределенности .
1.1.5 Линейные системы с обобщённым управлением при неопределённости .
1.1.6 Быстрые управления
1.2 Разрывные аппроксимации с минимальным модулем
1.3 Гладкие аппроксимации с минимальным модулем к-ой производной
1.4 Использование быстрых управлений в задаче управления без неопределённости
1.5 Примеры
1.5.1 Применение импульсного управления
1.5.2 Применение обобщённого управления с производной дельта-функции .
1.5.3 Управление системой за нулевое время
1.5.4 Применение быстрых управлений
2 Задача синтеза управлений для систем с неопределенностью
2.1 Введение
2.2 Минимаксная и максиминная функции цены
2.3 Позиционная функция цены
2.3.1 Определение позиционной функции цены
2.3.2 Принцип оптимальности для позиционной функции цены
2.3.3 Свойства позиционной функции цены
2.3.4 Уравнение типа Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса для позиционной функции цены
2.4 Задача с коррекциями движения
2.4.1 Переход к системе с нулевой динамикой
2.4.2 Функции цены с коррекциями
2.4.3 Существование функции цены в задаче синтеза
2.5 Свойства функции цены в задаче синтеза
2.5.1 Равенство позиционной функции цены и функции цены в задаче синтеза
2.5.2 Уравнение типа Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса и синтез управления
2.5.3 Закон управления для систем с обобщённым управлением
2.5.4 Быстрые управления
2.6 Траектории замкнутой системы
2.6.1 Пределы последовательностей траекторий
2.6.2 Пространственно-временная система
2.7 Примеры

2.7.1 Синтез импульсных управлений
2.7.2 Синтез быстрых управлений
3 Численный алгоритм синтеза импульсных управлений
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи
3.3 Аппроксимации минимаксной и максиминной функций цены
3.3.1 Класс функций Т
3.3.2 Свойства оператора
3.3.3 Свойства оператора Т
3.3.4 Аппроксимации функций цены
3.4 Аппроксимации функции цены с коррекциями
3.5 Численный алгоритм синтеза управления
3.6 Примеры применения численного алгоритма синтеза управления
3.6.1 Пример
3.6.2 Пример
3.6.3 Пример
3.6.4 Пример
3.6.5 Пример
Заключение
Литература
Введение
Актуальность темы
Данная работа посвящена исследованию задачи синтеза управления в системах с неопре-делённостью в классах импульсных управлений, формализуемых обобщёнными функциями [7, 34], а также быстрых управлений, действующих в течение малого промежутка времени, величина воздействия которых ограничена, хотя и может быть довольно большой.
Задачи построения синтезирующих управляющих воздействий являются одним из центральных вопросов современной математической теории управления. Решением таких задач служат управления в виде обратной связи. Они особенно необходимы в системах, где присутствуют неопределённые возмущения, неизвестные заранее, поскольку использование программных управлений в таких задачах, как правило, не даёт удовлетворительных результатов. Подобные задачи для систем с ограниченным управлением в детерминированной постановке, то есть когда задано ограничение на неопределённое возмущение и отсутствует статистическая информация о нём, достаточно подробно изучены в [2, 14, 18, 20, 23, 27, 53] и других работах.
Одним из способов решения задачи синтеза является применение метода динамического программирования, предложенного Р. Веллманом в [4] и более ранних работах [37, 38], и применённого к задачам с неопределённостью Р. Айзексом [2]. Исследование таких задач сводится к рассмотрению дифференциального уравнения в частных производных типа Га-мильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса. Решение уравнения подобного типа представляет сложную вычислительную задачу, в связи с чем разрабатываются различные апироксимационные методы [22, 53].
Решение многих задач оптимального управления, возникающих в приложениях, не достигается в традиционно рассматриваемом классе ограниченных управлений. Классическим примером такой задачи служит задача управления при условии минимума импульса управляющей силы и, которую можно сформулировать следующим образом: на траекториях x(t) системы
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(to) = x°, x(ti) = x1, минимизировать функционал
J u(r)d,T -» min

при заданном начальном -x° и конечном х1 положении системы. Предполагается, что интервал времени [to>ti] фиксирован. Минимум функционала данной задачи достигается на управлениях и, содержащих в качестве слагаемых мгновенные ударные воздействия, формализуемые дельта-функцией 5(t) [7, 34]. Кроме того, известно [15], что среди оптимальных управляющих воздействий в классе программных управлений есть управления, представляющие собой линейную комбинацию дельта-функций, в которых количество импульсов не

Рис. 1.5: Управляющее воздействие U(t)

Будем рассматривать задачу на отрезке времени [іо,Н] = [0, —]. Пусть в начальный мо-

мент (ті(0),ж2(0)) = (ж?, ж”), и для определённости ж°2 > 0. Задача состоит в успокоении
системы, т.е. приведении в положение {x±(t), Х2(І2)) = (0,0), с минимальным импульсом
силы Var U(-) —¥ min.

Решение задач такого вида в классе программных управлений подробно описано в работе [17]. Воспользуемся этим методом и получим, что оптимальное управляющее воздействие равно
тт/j. ( 0, при t0 < t < г, , ,
Щ) ~ приг <*<*!, ( - }
1 /7Г Хп
I 1- arr.te
где т =

+ arctg -гг— I. При этом импульсное управление х,и>/
u(t) = -тг= /ш2(хі)2 + (x^)2S(t - т). (1.67)

В момент г, когда применяется управление, выполняется:
л/ы2(х?)2 + (д§)2’ ^1б8^
COS LOT =
v ^ш2{х)2 + (ж§)
На рисунке 1.5 показано управляющее воздействие U(t) (1.66), полученное в рассматриваемом примере при следующих значениях параметров: х° = х° = 1, ш = 3.
Опишем физический смысл полученного управления. Движение системы (1.65) происходит по закону

Xi(t) = x?cosu)t sinwi,

x2{t) = — wtj sinwt + T® cosuit.
К моменту г применения управления, который описывается выражениями (1.68), система