Задачи управления для систем с эллипсоидальной динамикой

• Автор: Месяц, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Оглавление
Введение

Список обозначений

1 Решение линейно-квадратичной задачи через вытягивание в вектора

1.1 Постановка задачи

1.2 Решение

1.3 Возвращение к матричным обозначениям

2 Решение линейно-квадратичной задачи операторным методом

2.1 Постановка задачи

2.2 Линейные операторы над матричными пространствами

2.3 Решение задачи

2.3.1 Решение при отсутствии фазовых ограничений
2.3.2 Решение при наличии фазовых ограничений
2.4 Сравнение вычислительной сложности с решением через вытягивание в вектор для систем большой размерности
2.5 Численные примеры
2.5.1 Первый пример
2.5.2 Второй пример

2.5.3 Третий пример
2.5.4 Четвёртый пример
3 Операторные методы для задач с геометрическими ограничениями
3.1 Задача с геометрическими ограничениями
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Решение
3.2 Визуализация матричных множеств
3.3 Численный пример
3.4 Эллипсоидальные оценки множества достижимости
3.4.1 Постановка задачи
3.4.2 Ортогональные и положительно определённые операторы
в пространствах матриц
3.4.3 Внешние оценки множества достижимости
3.4.4 Внутренние оценки множества достижимости
3.4.5 Множество разрешимости
3.4.6 Численный пример
3.4.7 Сравнение вычислительной сложности
3.5 Задача реконфигурации
3.6 Численный пример
3.7 Задача разделения контейнера
3.8 Численный пример
Заключение
Литература

Введение
Настоящая работа посвящена исследованию задач управления для систем с многозначными траекториями, выраженных в виде эллипсоидальных трубок. Подобные постановки возникают во многих актуальных задачах теории управления.
Одной из ключевых задач теории управления является задача достижимости, в которой требуется описать множество всех терминальных состояний, которые система может достичь к заданному моменту времени из множества начальных состояний, используя допустимые управления. Сопряженной к ней является задача разрешимости — задача отыскания всех начальных состояний системы, стартуя из которых, система может при помощи допустимых управлений попасть в терминальный момент на заранее заданное целевое множество. При решении этих задач осуществляется переход от рассмотрения отдельных траекторий к анализу ансамблей траекторий, задающих многозначную динамику исследуемых систем. Эволюция таких ансамблей приводит к анализу трубок достижимости и разрешимости — многозначных отображений, сечения которых в каждый момент времени будут являться множествами достижимости и разрешимости. соответственно. Изучением динамики подобных трубок занимается теория трубок траекторий [47, 48, 8].
Задачи достижимости и разрешимости не являются оптимизационными задачами, однако им можно поставить в соответствие задачи оптимизации, ко-

Решим эту задачу методом динамического программирования. Вводя функцию цены,
V(t0,Q0) = тш{Ф(7/(-,-)) I Q(tо) = Qo},
приходим к уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана [51]
dV Г /dV
— +min — -Ь ([/, [7}| = 0, (2.9)
V(6,Q) = (Q-M,D(Q-M)).
В отличие от уравнения (1.3), это — матричное уравнение, записанное в опе-

раторных терминах. Здесь обозначает матричную производную функции цены по фазовой матрице, понимаемую в смысле Фреше [26, 27].
Дифференцируя по Q выражение в фигурных скобках, получим, что минимум достигается на оптимальном управлении

U=-2BÖQ-<2Л°>
Подставив его в систему, получим
dV / dV 1 / dV dV
m+{wAQ)~l {b'8q-B8q) = 0'
Будем искать решение в виде квадратичной формы,

V(t,Q) = (Q,V(t)Q) + (Q,K(t)) + 7(t)= J2 QijQkiPg(t) + (Q,K(t))+'Y(t). i,j,k,l=1 (2.11)
Здесь V(t) = (РгДф=1 G £(Rnx", Rraxn), K{t) G R”x”, 7(t) G R. Подставив это выражение в (2.9), получим квадратичную форму по Q:
Q, VQ) + (q, к) + 7 + (2VQ + К, AQ) - i (2VQ + К, BB*{2VQ + К)) = 0.
Приравнивая коэффициенты при квадратичном и линейном слагаемых и при свободном члене к нулю, получим систему уравнений на параметры функции