Дифференцирование функционалов энергии в теории упругости для пластин и оболочек, содержащих трещины

• Автор: Рудой, Евгений Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение
1 Производная функционала энергии пластины, равновесие которой описывается бигармоническим уравнением

1.1 Постановка задачи

1.2 Вспомогательные утверждения и формулы

1.3 Основной результат

1.4 Анализ формулы производной функционала

энергии

2 Формула производной функционала энергии для пластины с трещиной

2.1 Постановка задачи

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Вывод формулы производной функционала
энергии пластины
3 Производная функционала энергии для пологой оболочки, содержащую трещину
3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные утверждения и формулы
3.3 Устойчивость решения
3.4 Вывод формулы производной функционала энергии пологой оболочки
Список литературы

Введение
Во второй половине XX века одним из наиболее активно развивающихся научных направлений среди широкого спектра проблем фундаментального и прикладного характера, является механика разрушения. Актуальность исследований в области механики разрушения определяется их значимостью для фундаментальных аспектов естествознания, особенно для инженерного дела. Основной круг проблем механики разрушения связан с изучением несущей способности материалов с уже существующими трещинами и исследований закономерностей распространения трещин.
Механика разрушения тесно связана с краевыми задачами. Моделирование процессов в виде краевых задач в теории разрушения позволяет наиболее точно описать поведение тел при разрушении, сформулировать критерии, при которых трещины в теле начинают распространяться либо, наоборот, происходит ’’склеивание” берегов трещины.
В данной диссертации изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами в приложении к теории упругости, и, в частности, к теории разрушения. При этом мы изначально считаем, что трещины в теле уже существуют и устанавливаем критерии, при которых трещины начинают распространяться. Так как в рассматриваемых задачах данной диссертации считается, что трещина находится внутри тела, то область, которую занимает тело, является негладкой. При этом ее граница состоит из поверхности, которая ограничивает тело и поверхности, определяющей форму трещины. Также считаем, что трещина имеет два берега, поэтому мы задаем краевые условия и на внешней границе тела, и на внутренней (на берегах трещины). В классическом подходе к решению краевых задач с включением предполагается задание на берегах трещины значений функций перемещений

точек тела или компонент тензора напряжений [38]-[41]. [48]-[55], [83]-[86]. При этом краевые условия записываются в виде равенств и имеют вид

щ = ду на 5,
где Иу - компоненты тензора напряжений, - компоненты вектора внешней нормали к поверхности 5, описывающей форму трещины, Щ - компоненты вектора перемещений, ду - заданные функции. В на-
стоящее время в механике разрушения определились основные концепции и подходы к формулировке критериев разрушения. К ним можно отнести основополагающую теорию Гриффитса по механике хрупкого разрушения, концепцию квазихрупкого разрушения (Ирвин, Орован), энергетический критерий Гриффитса и эквивалентный ему силовой критерий Ирвина, концепцию не зависящего от контура интегрирования (7-интеграл, Г-интеграл) интеграла (Эшелби, Черепанов и Райс), критерий критического раскрытия трещины (Уэллс, Леонов и Пана-сюк). Активная разработка общих вопросов механики разрушения способствовала формированию двух направлений механики разрушения на современном этапе: классическое (краевые условия на границе ставятся в виде равенств) и неклассическое (краевые условия на границе имеют вид неравенств). Следует отметить, что такая классификация является довольно условной.
Классическая механика разрушения базируется на решении Ирвина [14], показавшего, что поля деформаций и напряжений трещины можно описать с помощью коэффициента интенсивности напряжений. При наличии трещины поля напряжений у края трещины сильно локализованы и быстро затухают, поэтому если зона пластической деформации у края трещины по сравнению с длиной трещины и размером тела мала, то при математической трактовке процесса размером этой зоны можно пренебречь и рассматривать поведение тела, как и в упругой задаче. Также были предложены деформационный критерий разрушения (Леонов, Панасюк, Уэллс) - критерий критического раскрытия трещины. Согласно этому критерию трещина начинает расти, когда

{д^11и,й)}о = I ^(гсцйц + 'гддггг.гг + кт>пй1^2 + к-ш^м,и +

+2(1 - к)и),пй,у2)(1По,
а{ги.ю) = - I д^1{р1(т)'ШЛ1 + Р1(«’)^!ц + р^)и>.2% + Р2(ш)ш,22+

+к(р1(ги)й>г22 + Р1{го),22 +Р2()й’,и + Р2(й>)ги1ц) +
+2(1 - /г)(шД2Рз(й)) +Рз(^)гйд2))йП0, где, в свою очередь, функции р,;, г = 1,2,3 определяются по следующим формулам:
Рх((р) = 29Л(рм + 0,ир,1,
Рг(+) = 2^.2+Д2 + ^,22+Д
Р.з(+) = 1+Д2 + 0,2^,11 + <9,12+
Так как в дальнейшем обозначение а^(гл, Ш,8) не будет использоваться в явном виде, то заметим лишь, что а^(п), тй, 6) является ограниченной билинейной формой, такой, что при <5 -> 0 выполнено
8а62('ш. и), 8) —И).
Также введем следующие обозначения:
ЩПй;Х) = bHW.W) + 1-Ь*(т,т) - / /<т0,

,{( V = /{х{у,8))
■' ш 1-ббг
Сейчас установим ряд свойств решений задач равновесия пластины с трещиной, который понадобятся нам в дальнейшем при выводе формулы производной функционала энергии по длине трещины.
Пусть х С К л и ха С Л'о ~ решения задач равновесия пластины с возмущенной и невозмущенной областями, соответственно. Применим преобразование (2.19), тогда Х&{х) = Х&(у); х £ ^<Ь У Е По. Сформулируем и докажем следующие леммы.