Топологическая классификация сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях

• Автор: Гореликова, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 92 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Цели и задачи диссертации
2. Актуальность темы и краткий библиографический обзор
3. Методы исследования
4. Научная новизна и результаты выносимые на защиту
5. Теоретическая и практическая значимость
6. Апробация работы
7. Структура и объем диссертации
8. Краткое содержание и основные результаты
9. Публикации по теме диссертации
ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СВЕРХТРАНЗИТИВНЫХ ПОТОКОВ НА ЗАМКНУТЫХ НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
1.1. Предварительные сведения о накрытиях
1.2. Рациональные и иррациональные точки абсолюта. Свойства автоморфизмов группы накрытия
1.3. Асимптотические свойства полутраекторий сверхтранзи тивных потоков. Гомотопический рдсс вращения. Орбита гомотопического класса вращения
1.4. Необходимые условия топологической эквивалентности
ГЛАВА 2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СВЕРХТРАНЗИТВНЫХ ПОТОКОВ НА ЗАМКНУТЫХ НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
2.1. Проблема существование замкнутой трансверсали и гомотопной замкнутой трансверсали
2.2. Достаточные условия топологической эквивалентности
ГЛАВА 3. ДОПУСТИМОСТЬ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЕРХТРАНЗИТИВНЫХ ПОТОКОВ НА ЗАМКНУТЫХ НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
3.1. Допустимость
3.2. Реализация
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
РИСУНКИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
1. Цели и задачи диссертации
Диссертация посвящена изучению нелокального поведения важного класса динамических систем со сложными предельными множествами на замкнутых неориентируемых поверхностях-сверхтранзитивных потоков.
Поток (динамическая система с непрерывным временем) на замкнутой неориентируемой поверхности М называется сверхтран-зитивным, если он содержит ненулевое конечное множество состояний равновесия, каждое состояние равновесия является топологическим седлом отрицательного индекса, имеет на М всюду плотную полутраекторию и не имеет сепаратрис, идущих из седла в то же самое или другое седло.
Исследование сверхтранзитивных потоков представляет не только самостоятельный интерес, поскольку их топология наиболее тесно связана с топологией несущего многообразия, но также интерес для исследования слоений с особенностями и гомеоморфизмов с инвариантными слоениями (аносовских, псевдоаносовских и обобщенных псевдоаносовских и других типов гомеоморфизмов). Сверх-транзитивные потоки являются естественным обобщением иррациональной обмотки тора, изученной А. Пуанкаре и А. Данжуа, и топологическая структура которых описывается с помощью числа вращения Пуанкаре.
Цель работы состоит в топологической классификации сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях.
Под топологической классификацией потоков на многообразиях в настоящее время принято считать решение следующих трех проблем: 1) нахождение полного топологического инварианта, знание которого позволяет ответить на вопрос о необходимых и достаточных условиях топологической эквивалентности потоков; 2) проблемы допустимости, то есть выделения такого максимально возможного множества топологических инвариантов, что для каждого инварианта из этого множества существует поток из рассматриваемого класса; 3) проблемы реализации, то есть построения в силу некоторой конструкции по каждому допустимому инварианту стандартного (канонического) представителя - конкретного потока из данного класса.

После этого становится возможным сделать разбиение всех потоков систем из рассматриваемого класса на данном многообразии на яепересекакяциеся между собой топологические классы и полностью описать топологическую структуру в каждом таком классе.
2. Актуальность темы и краткий библиографический обзор
Данная работа относится к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем.
Основы качественной теории потоков на поверхностях были заложены в конце прошлого и начале нынешнего века в классических работах А.Пуанкаре, Дж.Биркгофа, А.М.Ляпунова, А.Данжуа, Х.Кнезера, Т.Черри, И.Бендиксона, Я.Нильсена.Дальнейший прогресс в этой теории связан с именами А.А.Андронова, Е.А.Леонтович, Л.С.Понтрягина, А.Г.Майера. Большую роль в развитии этой теории сыграла идея грубости, принадлежавшая А.А.Андронову и Л.С.Понтрягину, а позднее и тесно связанная с нею идея гиперболичности множеств траекторий, принадлежавшая Д.В.Аносову.
В начале 60-х годов Д.В.Аносов обратил внимание на высказанную в 30-х годах идею А.Вейля о том, что при исследовании потоков на поверхностях целесообразно рассматривать лежащие на абсолюте предельные точки полутраекторий накрывающего потока на универсальной накрывающей плоскости.
Д.В.Аносовым была сформулирована концепция о том, что топологическим ключом в нелокальной теории потоков на поверхностях является изучение расположения на поверхностях незамкнутых кривых без самопересечения и исследование асимптотики поднятия этих кривых на универсальную накрывающую плоскость с помощью абсолюта этой плоскости [1-6]. Это позволило в дальнейшем получить фундаментальные результаты не только в качественной теории потоков на поверхностях, но и в некоторых смежных областях
Большой вклад в современную качественную теорию динамических систем и слоений внесли работы В.М. Алексеева, Д.В.Аносова, С.Х.Арансона, В.И.Арнольда, В.З.Гринеса, Я.Г.Синая, Л.П. Шильникова, Ю.И.Неймарка, С.Смейла и ряда других математиков.
В последнее время область применения динамических систем на замкнутых поверхностях существенно расширилась в связи с использованием их в качестве математических моделей в физике, механике, теории колебаний и других областях.

/' есть сепаратриса седла (обозначим это седло через О' ), тогда для сепаратрисы /' можно рассмотреть левостороннее и правостороннее продолжение по Бендиксону Г~ =Гяио,,и%~, I',* = 1,1101)!,*, где Г, ,ГЯ сепаратрисы седла О', при этом если является а-
сепаратрисой седла О', то являются его т -сепаратрисами, а
если Гв есть со -сепаратриса седла О’, то Г~,Г*является его а -сепаратрисами.
Обозначим в случае, когда 1'я является а -сепаратрисой седла О', через <г1г,<т><1),ст) принадлежащие абсолюту предельные точки сепаратрис V а если /' является а -сепаратрисой седла 0, то
через а’1?р>,ст1™,ст2? принадлежащие абсолюту предельные точки сепаратрис г,'-,/",/;.
Определение 2.2. Будем говорить, что если /' является а -сепаратрисой седла 0, то точкиоусг,® еЕ являются предельными точками левостороннего продолжения по Бендиксону сепаратрисы V и точки сг1г,<тв(2) е Е -предельными точками правостороннего продолжения по Бендиксону сепаратрисы 1'ч. Аналогично, если /' является со -сепаратрисой седла О', то точки а>,ая еЕ являются предельными точками левостороннего продолжения по Бендиксону сепаратрисы /' и точки ои(2оЛ еЕ- предельными точками правостороннего продолжения по Бендиксону сепаратрисы V
Определение 2.3. Будем говорить, что точка деК обладает свойством разделенности с кривой К, если либо траектория потока /", не являющаяся сепаратрисой и проходящая через д,