Сингулярные дифференциальные уравнения в задачах оптимизации

• Автор: Цыганков, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
§1. Постановка задачи
§ 2. Задача без ограничений
§ 3. Задача с ограничениями в форме равенств
§ 4. Задача с ограничениями в форме равенств (особый случай)
§ 5. Задача с ограничениями в форме неравенств
§ 6. Задача с ограничениями в форме неравенств (особые случаи)
§ 7. Задача с ограничениями в форме равенств и неравенств
§ 8. Задача с ограничениями в форме равенств и неравенств (особые случаи)65 ГЛАВА II. СИСТЕМЫ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 1. Задача без ограничений и с ограничениями в форме равенств
§ 2. Задача с ограничениями в форме равенств и неравенств
§ 3. Задача оптимального управления
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Задача исследования функции на условный экстремум в течение многих лет неизменно привлекала внимание математиков. За последние десятилетия в работах [22-29] была построена теория необходимых и достаточных условий экстремума в задачах с ограничениями в форме равенств и неравенств в конечномерном и бесконечномерном случаях. Были также развиты разнообразные численные методы решения экстремальных задач [6-14].
В конце 80-х - начале 90-х годов в работах М.М. Хапаева [1-4] было предложено использовать для решения задач оптимизации системы сингулярных дифференциальных уравнений, правая часть которых обращается в бесконечность на некоторых поверхностях, называемых особыми (сингулярными) многообразиями.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
х = Р(х,у), х(0) = Хо, X е Л“, (1)
где у - параметры.
Определение 1. Особое многообразие g(x,y) = 0 называется притягивающим (устойчивым) в области X, если при любом хо е X существует число Т такое, что
Нтё(х(х0,у,1),у) = 0.
Другими словами, интегральная кривая достигает особого многообразия за конечное время.
Определение 2. Особое многообразие §(х,у) = 0 называется полупритяги-вающим (полуустойчивым) в области X, если оно делит область X на две части Х+ и X', и если существует число Т такое, что
Шпя(х(х0,у,0,у) = 0,
при условии, что Хо принадлежит одной из частей Х+ или X'.
На основе сингулярных многообразий были построены повторяющиеся движения в системе, содержащей быстрые и медленные переменные, аналогии-

ные релаксационным колебаниям [5]. Система описывала процессы, сопровождающие распространение магнитозвуковых волн в плазме.
Пример. Рассмотрим систему двух уравнений
Г±1 =(аих1+а12х2Г1 1*2 = (a2ixi +а22х2)-1 На фазовой плоскости (хьХ2) вне прямых anXi+ai2x2 = 0 и a2iXi+a22xi = 0 фазовые траектории определяются линейной системой
fxj = а21х, + а2,х2 [х2 = anXj + а12х2
Особыми многообразиями будут указанные прямые. Фазовой траекторией является кривая второго порядка до пересечения с этими прямыми. В точке пересечения имеет место разрыв производной фазовой траектории.
Рассмотрим теперь задачу исследования функции на условный экстремум f(x) -> inf, х е X = {х е Rn:gi(x) = 0, i - 1,
Известно [11], что для нахождения min f(x) при наличии условий типа равенств и неравенств используется регулярная система дифференциальных уравнений
х = -ьх(хД), где Ьх(хД) - градиент функции Лагранжа.
В работе [3] было предложено вместо функции Лагранжа использовать функцию
К(х, ц) = f (х) + £ Pi (x)g[Pi (х),

называемую управляющей. Функции ц,(х) регулярны в рассматриваемой области, а числа р, выбираются равными 1 или 2, хотя может быть удобнее другое положительное число. Функция К(х,ц) на многообразиях gj(x) = 0 имеет особенности, в отличие от функции Лагранжа, которая регулярна. Наряду с функцией К указанного выше вида может быть удобно использовать функцию К вида

симум.
Если определитель Д(1) в точке М0 обращается в нуль вместе с определителями Д(2>, д(3),..„ Д(2М), но Д(2/)(М0) Ф 0, то в точке М0 условного экстремума нет.
Пример. Рассмотрим задачу о нахождении минимума квадрата расстояния £ = х2+у2+г2 от начала координат до эллипса, образованного пересечением плоскости gl = х+у - 1 = 0 и цилиндра g2 = у2 + г2 - 1 = 0.
= 4хг.
Точки возможного экстремума М! {0,1,0} и М2{2,-1,0} найдем, решая со-

гласно теореме 4 систему Д = § = g = 0:
хг = 0 х + у = 1 у2 + г2
и *у 2х 2у 2ъ X
д = в* ёу = 1 1 0 = 4
ё1 ёу 8г 0 2у 2 г 0 У г
<3 Ду А, ъ 0 X
Д(1) = ёу ё = 8
ё ёу ё 0 У г
= 8(г2 + ху).
Получаем, что Д(1) = 0 в первой точке и Д(1) < 0 во второй, где, согласно теореме 5 имеет место условный максимум функции Т
= 16г(3у — х)
Д(2) = 0 в точке Мі.
= 32(3у2 - ху - 4г2)
Д(3) > 0 в точке Мь где, согласно теореме 5, имеет место условный минимум функции Т
А? А® А? У X 2 г
Л(2) = ё1 8у = 16 і
ё §У ё 0 У ъ
Д(2) д?} д<2> -г Ъг Зу
Д(3) = ё* ёу Вг = 32
е* ёу ё1 0 у г