Нелокальные задачи для гиперболических уравнений

• Автор: Пулькина, Людмила Степановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 195 с.

Оглавление
Введение
Общая характеристика работы
1 Обзор литературы и постановка задач
1.1 Обзор литературы
1.2 Постановка задач и краткое содержание
2 Смешанные задачи с интегральными условиями для уравнения колебаний струны
2.1 Задача Di
2.2 Задача Иг
2.3 Задача 2г
3 Смешанные задачи с одним интегральным условием для общего гиперболического уравнения
3.1 Задача Бг для общего гиперболического уравнения
3.1.1 Единственность решения задачи Бг
3.1.2 Существование решения задачи Бi
3.2 Задача N1 для общего гиперболического уравнения
3.2.1 Единственность решения задачи
3.2.2 Существование решения задачи N
3.3 Задача Р
3.3.1 Единственность решения
3.3.2 Существование решения
4 Смешанная задача с двумя интегральными условиями
4.1 Задача 2г, а=
4.1.1 Единственность решения
4.1.2 Существование решения задачи 2г
Оглавление

4.2 Задача 2 г для общего гиперболического уравнения
4.2.1 Единственность решения задачи 2i
4.2.2 Существование решения
5 Задачи с нелокальными условиями, заданными в виде интегралов вдоль характеристик уравнения
5.1 Постановка задач
5.2 Задача а(аЬ)
5.3 Задача а(аЪ) для квазилинейного уравнения
5.3.1 Существование и единственность решения линейной
задачи
5.3.2 Существование решения задачи а(аЪ) для
квазилинейного уравнения
5.4 Задача с интегральными условиями, заданными в части области
5.4.1 Сведение к задаче с однородными условиями
5.4.2 Вспомогательная задача
5.4.3 Существование и единственность решения
5.5 Задача с нелокальным условием для уравнения влагопереноса .
5.5.1 Постановка задачи
5.5.2 Задача для нагруженного уравнения
5.6 Задача с интегральными условиями для вырождающегося уравнения
Литература

Введение
Основные понятия современной теории дифференциальных уравнений с частными производными сформировались при решении классических задач математической физики, о чем писал в своей обзорной статье А.А.Самарский [66]. Современные задачи естествознания приводят к необходимости обобщений классических задач, а также к постановке качественно новых задач и разработке методов их исследования. Отметим здесь лишь некоторые подходы к обобщению классических задач: распространение результатов, известных для уравнений фиксированного типа, на вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа [75, 5, 7, 36]; исследование классических задач для неклассических уравнений [10, 51]; исследование задач в негладких [37, 38] и неклассических [60, 79] областях.
Одним из классов качественно новых задач являются задачи с нелокальными условиями. Термин "нелокальные условия"впервые был введен А.А.Дезиным в работе [18]. Начало систематических исследований нелокальных задач для уравнений в частных производных было положено статьей А.В.Бицадзе и А. А.Самарского [6], в которой поставлена задача отыскания решения эллиптического уравнения (и системы уравнений) второго порядка, значения которого в точках некоторой
2.1 Задача Di

имеет единственное решение
/«(«,*)* = О, о
а следовательно, решение смешанной задачи с условием (2.4) является
Таким образом, нелокальную задачу с интегральным условием и условием Дирихле на одной из боковых границ можно свести к задаче, не содержащей интеграл от неизвестной функции в условии, но получившаяся эквивалентная задача также является нелокальной. Соответствующая этой задаче задача Штурма-Лиувилля
и собственные функции
Х0(ж) = X, Хк(х) = sill
Собственные функции Xk(x) при к > 0 попарно неортогональны к Хо(х), их система не полна и не образует базис в ІДО,0- Заметим, что разрешимость этой задачи можно доказать, дополнив систему собственных функций Хк(х) до полной присоединенными. Эти функции найдены в работе В.А.Ильина [19] для 1 = 1: Хк(х) = a: cos 2лкх. После переобозначения индексов систему собственных и присоединенных функций в нашем случае можно записать так:
решением задачи Di.

Х"{х) + АВД = О, Х(0) = О, Х'(0) - Х'(1) = О
имеет собственные значения
Хк = (-т-)2, к = 0,1,...,