Разрешимость уравнений сжимаемой жидкости Бингама

• Автор: Басов, Иван Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение
1 Разрешимость уравнений баротропных течений сжимаемой жидкости Бингама
1.1 Постановка задачи и основные результаты
1.2 Построение приближённых решений
1.3 Равномерные оценки галёркинских приближений
1.4 Сходимость приближённых решений
1.5 Глобальные априорные оценки
1.6 Предельный переход к разрывному закону напряжённого
состояния
1.7 Единственность сильного обобщённого решения
1.8 Существование слабого решения
2 Разрешимость уравнений сжимаемой теплопроводной жидкости Бингама
2.1 Постановка задачи и основной результат
2.2 Построение приближённых решений
2.3 Равномерные оценки галёркинских приближений
2.4 Сходимость галёркинских приближений
2.5 Глобальные априорные оценки
2.6 Предельный переход к разрывному закону напряжённого
состояния
2.7 Единственность сильного обобщённого решения
Список литературы

Введение
Общие положения и обзор известных результатов
Движение сжимаемой теплопроводной жидкости, занимающей! объём П С М”, описывается ([1]-[3]) системой, состоящей из уравнения неразрывности (баланса массы)
и уравнения баланса энергии
р(єг + и У є) = сііуіг + Р : Р + рэ, (х,й) Є П х (О,Т). (0.3)
Здесь х - радиус-вектор точки пространства, [0, Т] - промежуток времени, на котором рассматривается движение, р = р(х, і) - плотность, и = и(хД) - вектор скорости, Р(хД) - тензор напряжений, g(x,) -вектор массовых сил, є = є(х, і) - удельная энергия, її = 1і(х, £) -вектор теплового потока,
- тензор скоростей деформаций, 8 = в(х,£) - плотность поступления тепла. Уравнения (0.1)-(0.2) иногда называют ещё уравнениями Навье-Стокса сжимаемой жидкости.
При изучении движений определённой сплошной среды уравнения (ОЛ)-(О.З) дополняются заданием вектора массовых сил g, плотности поступления тепла 5 и определяющих термодинамических и реологических соотношений.
Термодинамические соотношения связывают вектор теплового потока 1г с термодинамическими параметрами (удельной энергией £ и плотностью р). Зависимость тензора Р от е, р и тензора И определяют реологические соотношения.
Рі + сНу(ри) = 0, (х,і) Є П х (0,Т)
(0.1)
уравнения изменения импульса
риг + рп У и = сНуР + (хД) Є П х (0, Т), (0.2)
Актуальность математических исследований уравнений (0.1)-(0.2) основывается на разнообразии их приложений, стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Результаты и методы, разрабатываемые при изучении проблем механики сплошных сред, имеют своё место в теории дифференциальных уравнений, и, соответственно, представляют самостоятельный научный интерес. Исследования корректности указанных задач способствуют разработке вычислительных методов для их решения.
Введём в рассмотрение температуру среды 9 = 0(х,£). Выразим удельную энергию е через р т в и зададим вектор теплового потока законом Фурье 1г = кУ$, где к = к(р,в) - теплопроводность. Тогда уравнение (0.3) переписывается в виде уравнения для температуры
сУр{9г 4- и У0) — сИу(кУ0) + Р : Р + />э, (0.4)

где Су = су(р, в) = -хх(р, 9) - теплоёмкость
Реологическое соотношение задаётся равенством Р = —р! 4- Р', где Р = р(р5 9) ~ давление, а Р' - вязкая часть тензора напряжений, которая в следствие неравенства Клаузиуса-Дюгема должна удовлетворять неравенству
Р;: Ю> > 0.
В большинстве математических исследований по данной тематике Р' выражается функцией от р, в и Р, которая для изотропных сред имеет вид

Г = (0.5)'

где скаляры могут зависеть от р, 9 и инвариантов Л (В)
Г = Л/1(Р)Е4-2/хР,
где коэффициенты вязкости Л и /х (/х > 0 и ЗА 4- 2/х > 0), возможно, зависят от термодинамических параметров, называются ньютоновскими. Все остальные зависимости между Р, В, р и 0 называются ненью- * тоновскими, поскольку подразумевают нелинейную связь тензоров Р и >

Но первое слагаемое в правой части молено представить в виде
Используя оценку (1.35), приходим к неравенству
из которого по лемме Гронуолла следует оценка а(£) < С28, доказывающая лемму.
Лемма 1.8 Существует. т,акая константа С29 > 0, что р > C29.
Доказательство. Из леммы 1.7 следует, что {p~l2)x € L°°(0,T' Ь2(П)). Замечая, что ||p1//2||l2(Q) — const, по теореме влолсения заключаем, что р-1/2 Е L°°(Q). Что и доказывает лемму.
Следствие 1.3 Из оценок лемм 1.7 и 1.8 и уравнения неразрывности (1.1) приходим к вложению pt Е Г; L2(fl)).
Следующая лемма не используется при доказательстве существования и единственности, а является дополнительным фактом о свойствах решений.
Лемма 1.9 Пусть щ Е W1,m(Q), т > 2, тогда существует. езо > О такая, что
РІР 1 = (р'(р)р)2(р”1) < {Р ЫУп?pv2x,
и по леммам 1.5 и 1.6 для второго слагаемого имеем

||их|и~(0,Т;Щ]-т(п)) + ||}'(ux)uxxuxm 2||z,i(Q) < С30.