О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса

• Автор: Зверева, Маргарита Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 120 с. : ил.

і Уравнения с разрывными решениями

§ 1 Вариационная мотивация подхода

§ 2 Некоторые сведения о тг-интеграле

§ 3 Аналог теоремы Коши-Пикара

§ 4 Основные свойства решений однородного уравнения

§ 5 Зависимость решений от параметра

н Краевая задача

§ 1 Функция влияния

§ 2 Свойство неосцилляции

§ 3 Явное представление функции влияния

§ 4 Интегральное представление решения краевой задачи

§ 5 Аналог принципа Хикса
ш Знакорегулярность разрывных решений
§ 1 Аналог теорем сравнения Штурма
§ 2 Аналог теоремы Пойа-Мамманы
§ 3 Оценка числа нулевых точек
§ 4 Положительные решения дифференциальных неравенств
IV Осцилляционность спектра
§ 1 Дискретность спектра, простота и положительность собственных значении
§ 2 Ортогональность собственных функций
§ 3 Нулевые точки собственных функций
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
В настоящей работе изучается уравнение вида

-ри'^х) + J ш1[0] = Е(х-) - Е(0) - ри',(0) (0.0.1)

и соответствующая ему спектральная задача
( -ри'^х) + /неЩ = Л/ис1[М] - три' {0)
< о о (0.0.2)
^ л(0) = и( 1) = 0.
Здесь р, С^, Е — функции ограниченной вариации на отрезке [0,1], д, М — строго монотонно возрастающие функции на [0,1]. Производная и' понимается как производная Стилтьеса, т.е. обращается интегралом Лебега-Стилтьеса. Обрамление й[<5] функции С}{х) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет не просто об интеграле Стилтьеса, а о его специальном расширении.

При непрерывных С}(х) интеграл / ис1[С2] совпадает с обычным интегралом

Римана-Стилтьсса, и тогда (1[0 = <И5- Если при этом в (0.0.1) функции , Е окажутся гладкими, т.е. йС} = С}'с1х и г/Е = Е'(1х, то обе части (0.0.1) могут быть на решении продифференцированы, и уравнение (0.0.1) примет вид
-^(74)+^ = /’ (°-0-3)
где д = С}' п / = Р. Последнее уравнение оказывается совсем привычным при
гладкой /*, когда для производной и' справедливо равенство и'ц = -у

что уравнение (0.0.1) и задача (0.0.2) в случае гладких параметров адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лнувилля.
В настоящей работе допускается возможность наличия у параметров уравнения (0.0.3) особенностей как й-образного типа, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда дельтаобразные сингулярности присутствуют уже у первых производных, что усугубляется вторым дифференцированием.

+1^2(А) - ^2(Ао)| ■ тгрф2(х)|, [о.‘]„
и (для произвольного разбиения {ад.-}£=о множества [0,1]5)

551 (Ри',Хх^ А) - ри'^Хк, Ао)) - (ри’^к-1, А) - риХхк-1, А0)) | <

< 1^1 (А) - ^1 (А0)I 55 рфц(хк) — РФхц&к-х)] + |^2(А) — “02(А0)I х *

х 511- Мл(**-1)| ^ №(Л) - М^о)Уат'1о(рр11)+

+1'02(А) - ^г(Ао)|Уаг10(р'~р'211).
Следовательно,
||м(ж,А) - и(ж,Ао)||/х < |01(А) — -01(АО)| • шах <р{| + |^(А) - ^2(А0)| • тах|у2|,
[0Д]д [0.1],,
что доказывает теорему.
Следствие 1.5.1. Пусть £ е Б{р). И пусть и(х, А) — решение уравнения (1.0.2), удовлетворяющее начальным условиям
и(С-0) = ^1(А), г^(0 = ^2 (А),
где функции и 1р2 непрерывны но А. Тогда функция и(х, А) непрерывна по А но норме (1.5.1).
Доказательство. Воспользовавшись соотношениями (1.3.1), (1.3.2), получаем, что
,,, пч р(0*(А)-^(А)д-д(0 + А-ад -0) = •
Тогда из непрерывности по А функции Д ^ + Д~У?^) „а
основании доказанной теоремы вытекает непрерывность н(ж, А) но А.
Аналогично, если £ € ^(д) и н(х,А) - решение уравнения (1.0.2), удовлетворяющее начальным условиям
д(£ + 0) = т/ц( А), = ^2 (А),