Операторная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Гончарова, Марина Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 92 с.

Глава I. Операторная функция Лежандра и ее свойства
1.1. Абстрактное уравнение Лежандра и операторная функция Лежандра
1.2. Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра
1.3. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра оператором из С]п
1.4. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра ограниченным оператором
1.5. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра генератором соответствующей Сд-группы
1.6. Сведение задачи о возмущении к задаче Коши для
полного уравнения второго порядка
Глава II. Вопросы разрешимости и стабилизации абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра
2.1. Задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра
с тремя параметрами
2.2. Задача Дирихле для абстрактного сингулярного уравнения
2.3. Итерированная задача Коши
2.4. Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка
Глава III. Обратная задача для абстрактного уравнения
Лежандра
3.1. Обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором
3.2. Необходимое условие единственности решения обратной задачи
для абстрактного уравнения Лежандра с неограниченным
оператором
Библиография

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования.
Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеется ряд монографий, излагающих теорию и применение линейных полугрупп [14, 17, 19, 21, 24, 48], а также обширные обзоры [3, 25, 36] научных публикаций, начиная с 1968 года.
Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных коси-нус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве [3, 14].
Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при 1 —> сю и т.д.
Известно, что задача Коши для дифференциального уравнения
и”(1) = Аи(Ь), 1 > О
равномерно корректна, если при п = 1 А — генератор Со-полугруппы, при п = 2 А — генератор косинус-оператор функции (КОФ), при п > 3 А — ограниченный оператор.
При рассмотрении ряда основных задач математической физики суще-у ствениую роль играет уравнение Лежандра
«.сРги „ (ки ,
(1-^-2^ + ^+!)«, = О,
которое после замены может быть записано в виде
и"(Ь) + сШ ^ и'{{) — и (и + 1) и(£) = О,
и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу.
л Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями
в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу
и"(£) + — Лн(£)

1.6. Сведение задачи о возмущении к задаче Коши для полного уравнения второго порядка
В этом пункте мы покажем, что в некоторых случаях задача о возмущении неограниченным оператором может быть сведена к исследованию равномерной корректности задачи Коши для полного уравнения второго порядка. Рассмотрим вначале задачу
«”(£) = В2и(1) + Ви{1), t > 0, (1.6.1)
и(0) = щ, и'(0) = 0, (1.0.2)
где В — генератор сильно непрерывной группы Т(£), а В — неограниченный оператор.
После замены и{Ь) = Т(1)и){Ь) задача (1.0.1), (1.6.2) сводится к следующей задаче
+ 2Вт'(Ь) = £?1гы(^), Ь > 0, (1.6.3)
ш(0) = «о, щ'(0) = —Ви0, (1.6.4)
которая изучалась в работах [24, 33, 34, 35]. Как показывают исследования,
проведенные в этих работах, задача (1.6.3), (1.6.4) сложная и следует наложить ряд достаточно жестких условий наоператорый и В, обеспечивающих равномерную корректность задачи (1.6.3), (1.6.4), а, значит, задачи (1.6.1), (1.6.2).
В свою очередь, зная решение задачи (1.6.1), (1.6.2), с помощью теоремы
1.1.1 по формуле сдвига по параметру (1.1.6), можно записать и решение задачи (1.1.1), (1.1.2) для А — В2 + В.