Краевые задачи для системы Моисила-Теодореску

• Автор: Полунин, Виктор Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Задача Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску

1.1 Задача Римана—Гильберта

1.2 Критерий фредгольмовости задачи Римана—Гильберта

1.3 Сопряженная задача Римана—Гильберта

Глава 2. Граничные свойства решений обобщенных систем

Коши—Римана

2.1 Обобщенные интегралы типа Коши в трехмерном пространстве

2.2 Интеграл типа Коши системы Моисила—Теодореску

Глава 3. Интегральное представление решений системы

Моисила—Теодореску
3.1 Задача типа Шварца
3.2 Интегральное представление решений системы Моисила—Теодореску в ограниченной области
Литература

Введение
Эллиптические краевые задачи играют важную роль в математической физике. Начиная с восемнадцатого века, огромное число работ было посвящено граничным задачам этого типа. Теория общих эллиптических краевых задач в гладких областях была развита во второй половине двадцатого века в работах И. Г. Петровского [39], Я. Б. Лопатинского [32],
М. И. Вишика [18], Л. Хёрмандера [56, 66], С. Агмона [60, 61], С. Агмона,
А.Дуглиса, Л. Ниренберга [62, 63], Ф. Браудера [64, 65], М. Шехтс.ра, [69-73], А. И. Кошелева [29], 10. М. Березанского [8, 9], В. А. Солонникова [53],
Я. А. Ройтберга [41-45], Я. А. Ройтберга, 3. Г. Шефтеля [46, 47], С. А. Назарова, Б. А. Пламеневского [37], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [1], Л. Р. Во-левича [20] и многих других.
В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимают обобщенные системы Коши—Римана. В пространстве М3 для 4— компонентных искомых вектор-функций и это системы ди , ди ди 4х
ai— 1- ai— 1- аз—— — 0, aj € R ,
и Х ОХ 2 ОХ з
для которых характеристическая матрица М(£) = ахф + а2^2 +
обладает свойством
M(Ç)MT(0 = ICI2, (1)
где Т - символ матричного транспонирования. В некоторой литературе такие системы также называют "нормальными". Простейший аналог этой системы
/ П А А А
М (^) и{х) = 0, М(0 =

0 -£з
Ь Ь 0 -Ф

впервые был предложен и исследован в работе румынских математиков Гр. К. Моисила и Н. Теодореску [67].
Повышенный интерес к исследованию этих систем объясняется особой их значимостью как в математике: в теории аналитических функций нескольких переменных [2-5,26], функциональном анализе [30, 31], геометрии векторных полей [6], теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [10], так и в физике: в квантовой механике, теории поля [34], теории геофизических полей [28].
Обобщенным системам Коши—Римана посвящен ряд исследований, содержащихся в работах А. В.Бицадзе [10-14], А. А. Дезина [21-23], И.Н. Векуя [15], А. Д. Джураева [24-26], А. П. Солдатова [49], B.C. Виноградова [16], Гр. К. Моисила и Н. Теодореску [67], И. Р. Шафаревича [57], М.З.Соломяка [52] и других.
В монографии И. Р. Шафаревича [57] исследуется проблема эллиптичности систем первого порядка, которая формулируется так: какими должны быть размерность пространства независимых переменных и число неизвестных функций в эллиптической системе дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, чтобы она существовала. Решение проблемы эллиптичности было анонсировано М. 3. Соломяком [52] без доказательства. В работе В. Е. Балабаева [6] на основе иного подхода дано конструктивное решение этой проблемы.
В современной теории эллиптических краевых задач важное место занимает решение проблемы нахождения эллиптических систем с фредгольмовыми задачами. Эта проблема была поставлена в монографии А. В. Бицадзе [10]. Именно в ходе работ А. В. Бицадзс впервые началось изучение краевых задач для трехмерных аналогов системы Коши— Римана. При этом в качестве представителя такой системы выбиралась

Обозначим для краткости СС(Б) класс непрерывных функций, всюду отличных от нуля (так что эти функции сохраняют постоянный знак на поверхности).
Лемма 1.2. Если минор принадлежит ОС {Б) и к = £ц, то найдется такая функция А Є СС(3), что
зк - з2к + И2 є СС(£). (1.14)
Доказательство. Пусть для определенности Ь12 Є ОС {Б). Согласно (1.6) умножение матрицу В слева на обратимую 2 х 2— матрицу приводит к умножению вектора э на определитель этой матрицы. Поскольку при этом преобразовании условие (1.14) остается инвариантным (с некоторым другим коэффициентом А), без ограничения общности можно считать, что
в — (^ Ь).
У О 1 с д)
В соответствии с (1.6) для этой матрицы компоненты вектора й определяются равенствами «і = 1 + асі — Ьс, ад — с + Ь, вз — сі — а. Выражая из последних двух равенств с и с? и подставляя в первое равенство, получим:
532 , (и *22 4 + 4 *1 = 1 + У + -] +р-Д ^
что приводит к справедливости (1.14) с А = 4.
Остальные случаи леммы рассматриваются аналогично.
Следующая теорема показывает, что если матрица В удовлетворяет условию дополнительности, то вопрос о принадлежности классу ОС (в) одного из ее миноров зависит от геометрической структуры поверхности 5. Рассмотрим на этой поверхности для заданного номера к = 1,2,3 открытое множество
= {У I ±пк(у) > °}> (1Л5)