Эргодичность как критический случай в теории устойчивости

• Автор: Белоусова, Елена Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 128 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
§1. Спектральный радиус и норма матрицы
§2. Условия эргодичности дискретных стационарных марковских цепей
§3. Устойчивость линейных дискретных систем в критических случаях
§4. Устойчивость нелинейных дискретных систем в критических случаях
§5. Численный метод проверки эргодичности стационарных дискретных марковских цепей
§6. Условия устойчивости линейных стационарных дискретных систем с произвольной матрицей коэффициентов
ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
§1. Спектральная абсцисса и логарифмическая норма матрицы
§2. Условия эргодичности непрерывных стационарных марковских цепей
§3. Устойчивость линейных непрерывных систем с переменными коэффициентами

в критических случаях
§4. Устойчивость нелинейных непрерывных систем критических случаях
§5. Численный метод проверки эргодичности стационарных непрерывных
марковских цепей
§6. Условия устойчивости линейных стационарных непрерывных систем с произвольной
матрицей коэффициентов
Приложение
Приложение
Приложение
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Анализ самых разнообразных задач биологии и химии приводит к исследованию процессов, которые называют марковскими процессами или марковскими цепями. Им посвящена обширная литература. В частности, хорошо известными являются монографии В.И.Романовского [1], А.Т.Баруча-Рид [2], П.Уиттла [3], Дж.Кемени и Дж.Снелла [4], Ф.Р.Гантмахера [5] и др. В этих работах изучаются дискретные и непрерывные марковские процессы как с конечным, так и со счетным числом состояний и их приложения.
Все рассуждения и формулировки основных результатов,приводимые в указанных работах, осуществляются с точки зрения теории вероятностей.
Дискретные однородные марковские цепи с конечным числом состояний описываются системами конечно-разностных уравнений вида
x(t + 1) = Mx(t),t = 0, ±1,±2
Здесь М - марковская матрица порядка п, которая отличается от стохастической матрицы только транспонированием, т.е. ее элементы = 1,п удовлетворяют следующим требованиям:
mij >0,i,j = (0.2)
E"»ij = l,j = l

При изучении ряда задач химической кинетики, связанных с последовательными и параллельными реакциями первого порядка, протекающими при постоянной температуре возникают системы обыкновенных дифференциальных уравнений
i(l) = Kx(t), —оо < t < оо, (0.4)
где х = (*,) - вектор концентраций реагирующих веществ Ni, і = 1,2,
кц > 0 при г ф j; і, j = 1,2,
и в силу ряда законов, см. например, [6] связаны соотношениями
Е kij = 0, j = 1,2

Так как V/ инвариантен относительно М(1), то в симплексе существует неподвижная точка оператора М{1) и следовательно система (3.1) имеет периодическое решение 7г(г), принадлежащее IV при всех значениях 1 = 0,±1,±2
Определения эргодичности для произвольной матричной функции и периодической эквивалентны. Действительно, если система эргодична в периодическом смысле, то она эргодична и в произвольном. Предположим теперь, что система эргодична в случае произвольной матричной функции. Если М(1) заменить на периодическую, то легко проверить, что все сдвиги на период ш решения 7г(2) будут решениями системы (3.1) и в силу ее эргодичности совпадают меду собой. Отсюда следует, что решение ф) периодическое с периодом ш. Эргодичность матрицы МН) снова означает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (3.1) на подпространстве Ь. Воспользуемся признаками эргодичности (3.12),(3.13) и (3.25). Функции до(0; 0 < т + а>(* +1) + - + аь(* +ц) < 1?г = 0) ±1> ±2) (3-28)

0< 91 («) + й (1.+Л+-; ±М±ОН <М = 0, ±1,±2,..„ (3.29)
0 < Ш + дф + 1Н -±чЛ + и) < ! = о _ (3 30)

Они обеспечивают расходимость рядов типа (3.21) и (3.24).
Пусть матричная функция М(<) является непрерывной, почти периодической [31] и марковской при каждом 4 — 0,±1,±2,
Система (3.1) с почти периодической матричной функцией М(1) называется эргодической, если существует единственное почти периодическое решение ф), лежащее в Ш при всех 4 = 0,±1,±2
Выпишем средние значения непрерывных почти периодических функций до(*)>?Ф)>дф). Имеем
МЫ = Иш в>(«)+ *>(* +!) + - + «>(*) (3.31)
1 г-5-юо I