Сингулярные псевдодифференциальные операторы Киприянова-Катрахова B-эллиптического типа

• Автор: Рощупкин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление
Введение

1 Полное преобразование Фурье-Бесселя и многомерные

п.д.операторы Киприянова-Катрахова

1.1 Основные положения анализа Фурье-Бесселя

1.1.1 Многомерный смешанный обобщенный сдвиг и его свойства

1.1.2 і-Функции Бесселя

1.1.3 Многомерное смешанное преобразование Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова

1.1.4 Ов -оператор Бесселя и его символ в образах Тв -преобразования

1.2 Основные пространства функций

1.3 Символ линейного сингулярного дифференциального

оператора Ь(х,Ов) с дв -оператором Бесселя
1.3.1 Символ Ь(х,Бв)
1.3.2 Оператор Ь*(х]Ов), сопряженный оператору Ь{хБв) и его символ
2 Многомерные сингулярные псевдодифференциальные

операторы Киприянова-Катрахова
2.1 Весовые классы функций Соболева-Киприянова Н , порожденные Ув -преобразованием
2.2 Ув -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова с символами из Е
2.2.1 Класс символов Е
2.2.2 Класс сингулярных псевдодифференциальных операторов Е
2.3 Порядок У в -сингулярного псевдодифференциального оператора в шкале пространств Н®
2.4 Произведения и коммутаторы с.п.д. операторов
Киприянова-Катрахова
2.4.1 Произведение Ув -с.п.д. операторов и Ув -с.п.д.
оператор с символом, равным произведению символов сомножителей
3 Квазирегуляризаторы В-эллиптических У в -с.п.д. операторов. Априорная оценка
3.1 В-эллиптические У в -с.п.д. операторы Киприянова-Катрахова и квазирегуляризаторы
3.2 Неравенство типа неравенства Гординга
3.3 Некоторые неравенства. Вариант теоремы Гохберга о норме многомерного с.п.д. оператора Киприянова-Катрахова
3.4 Теорема о норме У в -с.п.д.оператора
3.5 Априорная оценка
Литература

Введение
Актуальность темы диссертации. Псевдодифференциальные операторы или сингулярные интегродифференциальные операторы, впервые появились в работах С.Г. Михлина, А.Р. Кальдерона, А. Зигмунда, Р. Сили и др., как синтез сингулярных интегральных и дифференциальных операторов (сокращенно — СИД-операторы). Распространение эллиптической теории на эти операторы и их применение для изучения индекса принадлежит A.C. Дынину (1961 г.). М.С. Агранович (1965 г.) исследовал эллиптические СИД-операторы на многообразиях, использовал технику СИД-операторов для вычислении индекса эллиптических граничных задач. По видимому, A.C. Дынину принадлежит идея создания алгебры СИД-операторов. Дж. Кон и Л. Ниренберг в работе «Алгебра псевдодифференциальных операторов» (1965 г.) подошли к этим операторам с единой точки зрения, используя только технику преобразования Фурье. Именно эта работа и дала современное название теории СИД-операторов, построенных на основе интегралов Фурье. Дальнейшее развитие теории псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) осуществлено многими математиками, в первую очередь Л. Хермандером. Отметим также работы советских математиков В.В. Грушина, Ю.В. Егорова, М.И. Вишика, Л.Р. Волевича, В.П. Маслова,

Обычно в пространстве Шварца вводится система норм вида
|<у>)|к= эир ха Б? ір(х), к = 0,1,2,
|«| + |/3|«+, хЄКп
Такая система норм превращает пространство Шварца в пространство Фре-ше и позволяет доказать непрерывный изоморфизм основного пространства при его преобразовании Фурье. Нашей задачей в этом пункте является введение аналога подобных пространств и соответствующих норм для Тв -преобразования.
Доказательства фактов (классических) такого рода используют формулу Лейбница для производных от произведения. Нетрудно видеть, что четные В -производные от произведения не могут быть представлены в виде суммы В -производных сомножителей. Например, легко проверить, что
а отсюда ясно, что соответствующая формула Лейбница для целых степеней оператора Бесселя включает в себя и четные и нечетные порядки производных. Четное преобразование Фурье-Бесселя приспособлено исключительно для работы с операторами В четного порядка 2т . Теперь отметим, что формулу Лейбница для Вт{/1 /2) можно записать используя только опе-
и суммирование в (1.2.3) ведется по индексам I + 2Д + 2З2 +11+12 = 5 , П ^ 1, 22 ^ 1, £ < 2й — 1. При V = | постоянные есть обычные
биномиальные коэффициенты.
Формула (1.2.3) показывает, что переход в формуле Лейбница к операторам типа дд приводит к операторам с особенностью на гиперплоскостях
В(П /2) = В/г + 2£>Д £>/а + /і В/г
раторы Вт и (см. [8], [9], [46]) в виде
В‘(/:і/2) = ЕС
где С,
— определенные постоянные, причем