К исследованию резонансов в четырехмерных квазигамильтоновых системах

• Автор: Карабанов, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 159 с. : ил.

Глава 1 Введение

Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. В связи с этим рассмотрение систем, малыми возмущениями отличающихся от тех нелинейных (негрубых) систем, движения которых известны, во многих отношениях оказывается весьма полезным.
Замечательный класс таких систем составляют системы, близкие к интегрируемым гамильтоновым. Здесь в случае возмущений, сохраняющих гамильтонову структуру уравнений, получены наиболее полные и общие результаты. Случай возмущений, выводящих за рамки гамильтоновой механики, несмотря на всю его прикладную направленность, сравнительно мало изучен. Достаточно подробно можно говорить лишь о трехмерных системах, описывающих периодические по времени возмущения двумерных гамильтоновых систем. Обусловлено это рядом существенных трудностей — в первую очередь эволюцией системы и наличием резонансов.
Представленные в диссертации результаты касаются качественного анализа структуры резонансных зон неконсервативных четырехмерных систем, близких к нелинейным интегрируемым системам Гамильтона, и могут служить частичным обобщением известных результатов, касающихся трехмерного случая, а также дополнением к некоторым более общим результатам.

1.1 Общая характеристика работы

Диссертация состоит из трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 87 наименований. Имеется 42 иллюстрации. Общий объем работы составляет 160 стр. Главы разделены на параграфы, параграфы— на пункты. Иллюстрации выведены в конец основного текста (перед списком литературы).
Настоящая, первая глава, является предварительной и содержит постановку задачи (исходные уравнения, примеры, предмет исследования), обзор известных результатов (необходимые сведения из теории гамильтоновых систем, результаты, касающиеся квазигамильтоновых систем размерности < 4 и результаты, тесно примыкающие к предмету исследования), а также формулировку основных результатов диссертации (теоретические результаты, приложения к конкретным задачам). Результаты, полученные автором, содержатся во второй и третьей главах.
Вторая глава носит теоретический характер и содержит предварительный анализ (приведение исходных уравнений к стандартному виду, усреднение в зоне выделенного резонанса), рассмотрение особых случаев (резонансы I и II типа) и анализ неособого случая (резонансы III типа, прохождение через резонанс, поведение резонансных движений).
Третья глава посвящена приложениям теории к конкретным задачам. Проводится численно-аналитическое исследование двух примеров: движения заряда в электромагнитном поле и колебаний сложной энергосистемы. Описано возникновение в обоих примерах нерегулярной резонансной динамики.
По материалам диссертации автором опубликовано 8 работ [24-27,29,30,32,81]. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. В.В.Козлова (МГУ, апрель 1995 г.), на XVIII Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ (январь 1996 г.), на IV и V конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород, сентябрь 1996 г. и сентябрь 1999 г.), на Международной конференции по математике и приложениям, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина (Москва, сентябрь 1998 г.).

Работа выполнена в Коми научном центре Уральского отделения Российской академии наук и в Нижегородском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.Д.Морозова, которому автор выражает свою искреннюю признательность.
1.2 Постановка задачи
1.2.1. Исходные уравнения. Примеры. Нас будут интересовать четырехмерные системы следующего вида
где х — (ж1,Ж2), у — (У1,У2) —вещественные фазовые переменные; точка — производная по времени £; Н, Yj — гладкие 1 функции фазовых переменных; е — малый положительный параметр.
При е = 0 имеем гамильтонову систему
с двумя степенями свободы, гамильтонианом Я', обобщенными координатами х^ и обобщенными импульсами у^ которую будем считать нелинейной и вполне интегрируемой, т.е. допускающей кроме первого интеграла Н дополнительный первый интеграл, не зависящий от Н. Наибольший интерес представляет случай, когда среди неособых совместных уровней первых интегралов имеются компактные и связные. В этом случае по теореме Лиувилля (см. параграф 1.3) в четырехмерном фазовом пространстве системы (1.2) имеется связная область Г>, целиком заполненная инвариантными двумерными торами с условно-периодическими движениями, частоты которых непостоянны.
1т.е. достаточно гладкие, например, аналитические
Хз = 0^: (ж, у) + еХ,(х,у),

(1.1)
(1.2)

быть выбраны произвольно по правилу (1.56). Это свойство позволяет рассматривать целый класс систем, имеющих одинаковое разбиение фазового пространства на траектории. Варьируя функции С1, С2, в качестве исследуемой можно выбрать простейшую (в том или ином смысле) систему. В некоторых случаях это значительно облегчает исследование. Например, если функция не зависит от <р, то локальная система принимает вид
<р'=х, х' = а№(1, <р) +
где функции иг С являются лишь функциями I. Особенностью системы (1.57) является то, что при х = щ)(/) = 0 правые части последних двух уравнений системы линейно зависимы как функции <р (”синхронизованы” по фазе). Такого сорта системы изучаются в теории так называемых фазовых систем (см., напр., [11, 12, 13, 38] и др.). В этом (весьма частном) случае будем говорить, что локальная система является системой фазового типа. При этом мы полагаем, что функция №1) имеет лишь простые нули, т.е. такие нули, в которых У'р ф 0. Все вводимые ниже соотношения и множества являются инвариантами указанной симметрии.
Теорема 2.1 показывает, что локальная система (1.44) описывает динамику в резонансной зоне с точностью до быстро осциллирующей неавтономной добавки ~ р2. Тем самым грубые свойства локальной системы, т.е. свойства, сохраняющиеся при указанном возмущении, переносятся на исходную систему (1.40). В частности, если локальная система имеет гиперболическую (в широком смысле) замкнутую траекторию А (т.е. состояние равновесия или предельный цикл), то исходная система имеет компактное инвариантное множество А, гомеоморфное прямому произведению Ах 5, где 5 — окружность с координатой (3 (той2-кп). А именно, справедлива следующая теорема, которая может служить дополнением к известным результатам, касающимся усреднения в невырожденных одночастотных системах (см., напр., [45]). Эта теорема является следствием теоремы 2.1, лемм 2.5, 2.7, а также общих теорем, доказанных в [31].