Слабонелинейные взаимодействия диспергирующих волн

• Автор: Шакирьянов, Марс Маратович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 109 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Асимптотика решения задачи Коши для слабонелинейной системы уравнений
§1. Пример. Формальные построения
§2. Асимптотическое решение задачи Коши для слабонелинейной системы уравнений
Глава 2. Длинноволновая асимптотика решений уравнения Буссинеска 43 §3. Формальный асимптотический переход к системе уравнений Дэви-
Стюартсона
§4. Асимптотика решения задачи Коши для двумерного волнового уравнения
Глава 3. Разрешимость краевых задач для систем уравнений Дэви- Стю-
артсона
§5. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений Дэви-Стюарт-
сона-П
§6. Разрешимость задачи Гурса-Коши для систем уравнений типа Дэви-
Стюартсона
Литература
Введение
Дифференциальные уравнения в настоящее время представляют основу большей части математических моделей естествознания. В частности, теоретические исследования волновых явлений в механике и физике в значительной степени сводятся к исследованию решений соответствующих дифференциальных уравнений.
С термином ” волна” в простейшем случае связываются функции двух переменных
U = Аещ){1(кх — cot)}, к Е R, ж € М., А = const, (0.1)
известные под названием ” плоские волны”, которые характеризуются ам-
плитудой А, волновым числом к и частотой со. Выражения такого типа являются точными решениями линейных дифференциальных уравнений
L(idt,-idx)U = 0. (0.2)
При этом частота со = со{к) и волновое число к связаны дисперсионным соотношением
L(oo,k) = 0. (0.3)
Понятие дисперсии волны связывается с нелинейной зависимостью от к корней алгебраического уравнения (0.3). Если в дисперсионном уравнении присутствует малый параметр, то дисперсия может быть слабой или сильной, в зависимости от того, линейны или нелинейны по к главные члены асимптотики корней дисперсионного соотношения (0.3).
Следует отметить, что лишь немногие модели механики и физики приводят к уравнениям, для которых можно написать общее решение. Препятствием для интегрирования обычно оказываются различного рода нелинейности, неоднородности, сложные граничные условия и т.п. Для ана-
лиза таких более сложных моделей часто применяют асимптотические методы.
Распространённый подход состоит в том, чтобы исследовать классы решений вблизи известных точных. Мерой близости обычно служит малый параметр 0 < е <С 1, который может входить как в исходное уравнение, так и в начальные условия. Так, задачи о слабонелинейных возмущениях могут ставиться в виде уравнений с малыми нелинейными добавками:
Ь№,-(дх)и = £/(и,дхи) (0.4)
с начальными данными, которые могут представлять собой волновой пакет с постоянной амплитудой:
£/|<=0 = 40ехр{г&ж}, (0.5)
либо в виде сильнонелинейных уравнений
ь№,-1д.)и = ди,д.и)
с начальными данными вблизи заданного решения ?7о(ж,г). Обычно £/о(т,
е) выделяется заранее, и дело сводится к начальному условию с малой
амплитудой:
?7|<=о = сО0 ехр{гкх).
В любом случае, начальные данные могут представлять собой слабоде-формированный волновой пакет, так что в амплитуде А0 допускается зависимость от медленной переменной: А0 = А0(ех).
Обсудим проблемы, которые возникают при построении асимптотического разложения решения и(х,е) при е —+ 0 в задачах типа (0.4)—(0.5). Тривиальный подход состоит в том, чтобы искать асимптотическое решение в виде прямого ряда теории возмущений:

с начальными условиями:
ак ±(0) —О!к ±,
о ' (1.37)
А(0) =А
Здесь через * обозначена свёртка по к.
Задача Коши (1.36)—(1.37) сводится к системе интегральных уравнений:

<*к,±(т) =ak,± + /{2c(afc ± * kakt± 4- ао>т аь,±) + f±{A)}(fi)dfi,
о . ° (1-38)
А (г) =А + f о
В основе доказательства существования решения этой системы лежит метод сжатых отображений в подходящей шкале банаховых пространств. А именно, вводятся банаховы пространства HPtP коэффициентов Фурье ак, непрерывных по к и экспоненциально убывающих на бесконечности, с нормами:
|| 11= sup(l + к2)?12 ехр(/3к) ак, {(3 > 0,р > 2).
к£ Z
Вектор-функции А(г), непрерывно зависящие от т £ [0, г0], рассматриваются в векторном пространстве непрерывных функций С([0, то]), норма в котором определяется через сумму норм компонент этого вектора в С([0, г0]). Функции ак(т) £ Н0Р, непрерывно зависящие от г 6 [0, г0], рассматриваются в банаховом пространстве Ср>р — С([0,т0; HfiiP) с нормой:
II «*(г) 11о„,р= sup || ак (г) ||Лр
г ё[0,то]
В дальнейшем показатель (3 будет зависеть от т : (3 = (3(т). Следует
учесть, что пространство НР р является алгеброй относительно операции свертки по к (доказательство из [5, 14]):
|| 01к -к ук < Mo II ак \fftP || 7к \р, Mo = const,