Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси

• Автор: Папин, Александр Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 254 с.

Оглавление
Введение
1 Вспомогательные сведения
1.1 Функциональные пространства
1.2 Специальные неравенства и теоремы вложения
2 Глобальная разрешимость пространственных регулярных задач изотермической двухфазной фильтрации, обоснование приближенных методов решения регулярных и вырождающихся задач
2.1 Постановка задачи и основные результаты
2.2 Свойства “приведенного” давления
2.3 Оценка решений регулярной задачи в
2.4 Классическая разрешимость пространственных регулярных
задач
2.5 Приближенные методы решения регулярных
задач двухфазной фильтрации
2.6 Вырождающаяся задача. Устойчивость, единственность, обоснование приближенного метода
3 Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге
3.1 Постановка задачи и основные результаты

3.2 Автомодельное решение задачи тепломассопереноса
в тающем снеге
3.3 Перенос динамически нейтральной примеси
4 Разрешимость “в малом” краевых задач для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси несжимаемых жидкостей
4.1 Постановка задачи и основные результаты
4.2 Вспомогательные уравнения
4.3 Разрешимость “в малом” по времени
4.4 Доказательство теоремы единственности
4.5 Разрешимость “в малом” по начальным данным
4.6 Пример глобальной разрешимости
5 Существование решения “в целом” уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси
5.1 Постановка задачи и основные результаты
5.2 Локальная разрешимость вспомогательной задачи
5.3 Априорные оценки первых производных решений вспомога-
тельной задачи. Оценки сверху и снизу для концентрации и температуры
5.4 Априорные оценки старших производных решений вспомогательной задачи. Разрешимость “в целом ”
5.5 Компактность решений вспомогательной задачи
5.6 Предельный переход
Приложение
Заключение
Литература

Введение
Уравнения механики сплошной среды привлекают внимание многообразием постановок задач, сложностью их решения, а также разнообразием методов исследования. В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности. Многофазные течения существенны для широкого круга задач: поведение зерновой и угольной пыли, газированной нефти, капель и аэрозолей; горение топлива; образование кокса, сажи и дыма; движение суспензий и пузырьков в жидкостях; движение жидкостей и газов в пористых средах; процессы растворения и осаждения [152], [153], [64], [159], [47], [32], [244], [253], [255], [256], [259], [260], [261], [265], [272], [273], [279], [293], [295], [300]-[304]. Во всех этих задачах имеются отличительные характеристики, которые делают невозможным единый подход к многофазному моделированию. Поэтому в настоящее время существует много различных моделей многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретической точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач.
Рассмотрим основные моменты построения замкнутой системы уравнений взаимопроникающего движения жидкостей.
1. Уравнения механики сплошных гетерогенных сред
Описание методами механики сплошной среды различного рода смесей, как гомогенных (однородных), так и гетерогенных, связано с введением понятия многоскоростного континуума и определением взаимопроникающего движения составляющих. Многоскоростной континуум представляет собой совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей состав-

Rn - обладает свойством конуса и f1, /2, ... - последовательность в W{ÇÏ), слабо сходящаяся в к функции / € где 1<р<ооиш>1.
Фиксируем q>lnl (i) Если кр < п и q< ^гр, то Иш^оо ||р - f\wrk{QI) = 0.
(ii) Если кр = п, то lim^oo ||/J — /||щ"'^(П') = 0 Для всех Q < °°-
(iii) Если кр > п, то р сходится к / по норме тах sup {Daf){x).
0<|«|<т—fc хеП'
Другие, более тонкие результаты о слабой компактности изложены в [140], [95], [96], [99], [275], [276], [290], [251].
Лемма 1.2.10 [161]. Пусть последовательность y%{t), i = 0,1,... неотрицательных, ограниченных при почти всех t € [0,Т], Т < сю функций
удовлетворяет рекуррентному соотношению

yi+l(t) < Л5yt) + С5-1J yr)dT, t E (0, T], (1.2.4)

где С, ô E (0,1/2), 7 - положительные постоянные, a Л принимает значения 0 и 1. Тогда при À = 0 и А = 1 соответственно имеем, что
z1 = vrai max yl(t) < ^-z°, (1.2.5)
o z* < e(i)z°, (1.2.6)

z° = vrai max y°, e(i) — {i — 1 + L)l(25)1, L — —— o и, следовательно, y1 —> 0 при г —» oo.
Доказательство. Неравенства (1.2.5), (1.2.6) проверяются непосредственно методом индукции. В случае А = 0 доказательство очевидно. Пусть А = 1. Разобьем промежуток [0, Т] точками tk, к = 0,, N, t0 = 0, = Т так,
чтобы = tf. — tk+1| < S/С, где ô и Ci = C7£~7 - постоянные в (1.2.4). Тогда для угр = vrai max y1+1(t) имеем
y[+l < 2ôy
и, следовательно
y+X < (25)i+1y° ~ ô+