Исследование одного класса дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей

• Автор: Жидков, Артем Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 150 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Основные функциональные пространства и их свойства
1.1. Обозначения. Пространства гладких функций и распределений
1.2. Пространства Лебега и пространства Соболева
1.3. Функциональные пространства, содержащие операции векторного анализа
1.4. Некоторые представления векторных полей и Гр-оценки скалярных произведений вектор-функций
1.5. Некоторые результаты о разрешимости абстрактных уравнений
Глава 2. Начально-краевые задачи определения стационарных и квазистационарных потенциальных полей
2.1. Стационарные задачи определения потенциальных полей
2.2. Квазистационарные задачи определения потенциальных полей
2.3. Итерационный алгоритм для решения квазистационарной задачи
2.4. Обоснование метода Галёркина для приближённого определения скалярного потенциала
Глава 3. Обратная задача граничного наблюдения
3.1. Постановка обратной задачи
3.2. Граничный оператор и его свойства
3.3. Метод двойственной регуляризации
3.4. Сопряжённая задача
Глава 4. Некоторые приложения результатов к задачам атмосферного электричества
4.1. Численное моделирование глобальной электрической цепи в атмосфере
4.2. Некоторые результаты численных расчётов
Заключение
Литература
Введение
Актуальность работы. Дифференциальные уравнения с частными производными, содержащие дифференциальные операции векторного анализа используются при моделировании самых разнообразных физических явлений и являются основным математическим аппаратом гидродинамики, механики сплошных сред, теории поля, электромагнитной теории. Решениями таких уравнений являются векторные поля различной физической природы. Исследование таких задач опирается на специальные свойства функциональных пространств, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа, и различные теоремы вложения, в основе которых, как правило, лежат оценки для норм векторных полей в этих пространствах.
В частности, с физической и математической точки зрения одним из важнейших моментов изучения структуры векторного поля является выделение его вихревой и потенциальной составляющих. Основополагающей в этом направлении является работа Г. Вейля [49], в которой впервые было получено ортогональное разложение произвольного векторного поля на прямую сумму ортогональных подпространств соленоидальных и потенциальных полей. В этой работе также впервые были получены оценки для норм векторных полей в функг на ъных пространствах, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа. Идея ортогонального проектирования и теоремы вложения соответствующих функциональных пространств получили существенное теоретическое развитие и нашли важное применение при изучении различных прикладных задач в работах С.Л. Соболева [180], O.A. Ладыженской [132, 134], Дж.Дж. Хейвуда [11, 12], Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса [65], В.А. Солонникова [183], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [152-154], Э.Б. Быховского, Н.В. Смирнова
Здесь также включение сНуад 6 Ьр(0) понимается в смысле теории распределений, то есть найдётся такая функция и е Ьр(£1), что для произвольной пробной функции ф е £>(12) выполняется равенство
v(x) ф(х) dx
(u(x) - grad ф(х))дх.

Ядром дифференциальной операции rot (соответственно операции div) в соответствующем гильбертовом пространстве будем называть следующие пространства функций:
Ker( rot; 12) = {й £ Я (rot; 12) : rot и = 0} ,
Ker(div; 12) = {и £ H(divm, 12) : div Я = 0}
Лемма 1.10 ([65, 190]) Ker{rot; Г2) uifer(div;12) являются замкнутыми подпространствами (L2(12)}3.
Скалярные произведения в данных пространствах естественным образом переносятся с пространства {L2(12)}3:
(и Vjj.rer(rot;f2) ( ' )iTer(div;n) ('u(t) у{хУ)дх.

Замыкание пространства пробных вектор-функций {£>(12) }3 в функциональных пространствах Яр(гсй; 12), #p(div; 11), Я(rot; 12), Я(div; 12) будем
О О О О
обозначать через Нр( rot; 12), Ярпц 12), Я (rot; 12), Я(div; 12), соответствен-

но. Пространства Ker(rot; 12), Ker(div; 12) определяются следующим образом
Ker(rot; 12) = Яр(rot; 12) Q 2fer(rot; 12),
Ker(div;12) = Hp(div; 12) Q Яer(div; 12).