К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега

• Автор: Гуломнабиев, Сардор Гуломайдарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Хужанд
• Количество страниц: 120 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в пространствах Лебега
§1.1 Постановка задачи, основные определения и вспомогательные
утверждения.
§1.2 О решениях однородной системы.
§1.3 Разрешимость неоднородной системы.
ГЛАВА II. Ограниченные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
§2.1 Основные определения и леммы
§2.2 Линейные дифференциальные уравнения с ограниченными
коэффициентами
§2.3 Линейные дифференциальные урд^неимя^огнеоцзаниченными
1 л«< •
коэффициентами “*
ГЛАВА III. Разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в пространствах Лебега
§3.1 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве
Ьх (-оо,+оо)
§3.2 О разделимости дифференциальных уравнений в пространстве
С[(-оо,+оо)
§3.3 Об обратном операторе Л,-1
§3.4 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве
^ (-=0,+оо)
§3.5 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространствах
Ьр (—со,+со), 1 < р < со
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка в пространствах функций, суммируемых по Лебегу на всей оси. Исследованию этой проблемы посвящены классические и фундаментальные работы Эсклангона [41], Ж.Л. Массера [27], Фавара [40], С.Г. Крейна [21. 22],
В.Б.Лидского [25], А.М.Молчанова [28], Э.М. Мухамадиева [29, 30, 31]. В этих работах изучены условия обратимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов в пространствах ограниченных и суммируемых в квадрате функций на оси и полуоси.
Исследование линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечных интервалах актуально тем, что, как правило, результаты, относящиеся к исследованию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами на конечных интервалах, такие как условия разрешимости и нормальной разрешимости, непосредственно не переносятся на случаи, когда коэффициенты неограниченны или область изменения аргумента неограниченна.
Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами или с неограниченной областью изменения аргумента существенно зависит от поведения коэффициентов на бесконечности и вблизи точек неограниченности. Полное исследование этой зависимости применительно к конкретным задачам в конкретных функциональных пространствах еще далеко от своего завершения. В работах Г. Вейла [44], В.Б. Лидского [25], А.М. Молчанова [28], И.М. Глазмана [45], И.М. Рапопорта [46], исследованы свойства спектра самосопряженных операторов, порожденных дифференциальными выражениями в зависимости от поведения коэффициентов.
Особый интерес представляет вопрос о разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на всей оси функций и в пространстве суммируемых в некоторой степени на всей оси функций. В работах Ж.Л. Массера, Фавара, Э.М. Мухамадиева изучены условия разрешимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных на
всей оси функций. В этом случае важную роль играют так называемые предельные уравнения, порождаемые самими уравнениями.
В работах Лабиба [23, 24] исследованы условия существования
ограниченных на всей оси решений для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, когда коэффициенты являются многочленами по независимой переменной. Представляет интерес исследовать условия разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами (необязательно многочлены) в пространствах ограниченных и суммируемых на всей оси функций.
Дополнительные свойства решений дифференциальных уравнений тесно связаны со свойством разделимости соответствующих дифференциальных операторов в функциональных пространствах. Систематическое изучение свойства разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах берет свое начало от работ В.Н. Эверитта и М. Гирца [43]. В дальнейшем, эта теория развита в работах Ф.В. Аткинсона [1], М.О. Отелбаева [34, 35], К.Х. Бойматова [2, 3] и ряда других авторов. Имеющиеся исследования по теории разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах в основном опираются на современные методы функционального анализа. В связи с этим представляет научный интерес исследование поведения решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения в зависимости от поведения коэффициентов на бесконечности, особенно в случае неограниченных коэффициентов, и на основе этого изучать условия обратимости и разделимости соответствующего дифференциального оператора в функциональных пространствах.
Настоящая диссертационная работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега. Полученные результаты обобщают и дополняют результаты работ Лабиба [23, 24], где исследованы условия разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами в пространстве ограниченных па всей оси функций.

Лемма 2.2. Пусть матрица Bq удовлетворяет условию (2.3) и a(t) е А. Тогда однородная система (2.2) не имеет решений, принадлежащих пространству
Lp (-со,+оо).
Доказательство. Из (2.6) и (2.7), очевидно, следуют равенства lim |у[(0| = +со, lim |у2(0| = +
t—>— 00 /—>+
при »(О)^ 0 и у2 (0) Ф 0. Поэтому системы (2.4), (2.5), и следовательно (2.2) не
могут иметь нетривиальных решений, принадлежащих пространству Lp(-oо,+со).
Лемма 2.2 доказана.
Рассмотрим теперь однородное уравнение (2.1) в его общей форме. Справедлива
Теорема 2.1. Пусть a(t)eA, Bßt) удовлетворяет условию (1.3) и выполнено одно из следующих условий
а) сг(Д0)сП_(а), а>0; б) а(В0) czU+(ß), ß>0.
Тогда система (2.1) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству Lp(-°о,+оо).
Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что a(t) > О V/ е (-со,+со). В противном случае, выбирая а0 - min a(t) -1 можно

рассматривать систему
х’ = (a(t) - а0 )BQx + В2 (t)x, где B2(t) - Bßt) + üqB0 также удовлетворяет условию (1.3). Пусть t = cp(s)
функция удовлетворяющая условию
(pis)
(2.8) Ja(r)dr = s.

Из положительности функции a(t) следует, что t - (p(s) -монотонная функция обладающая свойствами
(2.9) <^(0) = 0, +оо при s —^ +оо и —оо при s —> -со.
Введя новую вектор-функцию y(s) - x(t) - x((p(s)), произведем в системе (2.1)
замену. Так как ç>s) =---------- то система после замены примет вид
а(ср (s))