Некоторые обобщенные граничные задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций

• Автор: Капанадзе, Георгий Амбросьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 120 c. : ил

ВБЕДОИЕ
Теории граничных задач аналитических функций и связанных о ниш сингулярных интегральных уравнений, зародившейся в трудах классиков математики Рима на, Гильберта и Пуанкаре, посвящено большое количество работ, чему значительно способствовало то обстоятельство, что ряд важных задач математической физики и механики можно решить на основе этой теории. Результаты, полученные в разработке упомянутой теории, а также подробные библиографические и исторические справки даны в монографиях Н.И.Мусхелиш-вили [I], И.Н.Векуа [2], Ф.Д.Гахова [з], Н.П.Векуа [4], Г.С.Лит-винчука [5], Б.Б .Хведелидзе [б], Л.Г.Михайлова [?], Л.И.Чибрико-вой [8], в обзорных статьях Ф.Д.Гахова [ 9], Б.В.Хве делидзе [ю] и в других работах.
К основным граничным задачам аналитических функций относятся задача Гильберта (именуемая также задачей линейного сопряжения (см. [I]), или задачей Гимана (см.[з]) ), граничное условие которой имеет вид

ф+а)=&и)ф-а)+^а) ш

и задача Гимана-Гильбертз с граничным условием

Иь[ас«+ ько] со = с(о . (2)

Одним из обобщений задачи (I) является задача нахождений кусочно-голоморфного вектора, по граничному условию

Ч+ н)=Л с-ь) у- со+ Ъ со^рсо + 5 а). (з)

Эта задача (которую мы будем называть обобщенной граничной задачей Гильберта) впервые была сформулирована А.Й.Мэркушевичем Си]. Исследование задачи (3) проведены в работах Н.П.Векуа С4],[12], [13], Б.В.Боярского [14], Л.Г.Михайлова [7], Г.С.Литвинчука [ 5],

[15],[1б], И.Х.Сабитовз [17], А.М.Николайчука[18], Е.И.Оболаш-вили [19], Л.И.Чибриковой, Л.Г.Салехова [20], А.И.Йцко [21], М.А.Шешко [22], Л.П.Примачукэ [23], И.М.Спитковского [24], Г.С. Литвинчука, И.М.Спитковского [25] и др.
Обобщением задач упомянутых типов являются граничные задачи со смещением (сдвигом), т.е. задачи, в граничном условии которых сопряжение происходит в различных точках граничного контура. Основополагающие результаты по изучению граничных задач со смещением (сдвигом), рассмотренные впервые Газеманом, были получены в работах Д.А.Квесел8ва [2б],[2?]. К настоящему времени теория этих задач развивается в различных направлениях. Пока достаточно хорошо изучены граничные задачи с карлеманевским сдвигом, которым посвящено большое число работ Г.С.Литвинчука, Э.Г.Хасабо-ва и их последователей. (Подробные библиографические справки даны в монографии [б]).
Обобщенная граничная задача Гильберта (3) и аналогичные задачи со смещениями находят многочисленные приложения к исследованиям проблемы жесткости кусочно-регулярных поверхностей, при решении задач плоской теории упругости анизотропного тела, задачах фильтрации грунтовых вод, задачах механики и электростатики.
Настоящая диссертационная работа посвящается изучению обобщенной граничной задачи Гильберта (3) и аналогичных задач со смещениями для нескольких неизвестных функций. Она состоит из введения и трех глав.
Первая глава - "Обобщенная граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций" - посвящается изучению граничной задачи (3) для к -мерного кусочно-голоморфного вектора в случае круга единичного радиуса. , ВШ и - заданные на контуре ^ (1*1=1) матрицы и вектор класса [■{ соответственно, причем , 1е.Ь .

Применяя метод аналитического продолжения, предложенного
Н.И.Мусхелишвшш [1], граничная задача (3) сведена к эквивалентной граничвой задаче Гильберта (I) для ЪП -мерного кусочно-голоморфного вектора ф(£) (в случае одной искомой кусочно-голоморфной функции это оделено в монографии [5] (см.также [191, [20])) и на основе решения последнего выведены общие формулы исчезающих на бесконечности решений однородной задачи, соответствующей задвче (3) и союзной с ней задачи
(4)
Выведены некоторые формулы для вычисления количества линейно независимых исчезающих на бесконечности решений однородных задач (3) и (4).
Для одной кусочно-голоморфной функции рассмотрен частный случай, когда задача (3) решается эффективно (в квадратурах). Кроме того, показано, что в случав п=1 , граничная задача (3) приводится к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений, частные индексы характеристической части которой вычисляются эффективно.
Приведенный в этой главе метод удобен для эффективного решения задачи (3) (например, когда заданные матрицы Л(4^) и 5(^) -рациональные), так как позволяет использовать для этой цели соответствующие алгоритмы, разработанные для задачи Гильберта (I).
Вторая глава - "Некоторые обобщенные граничные задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями" - содержит б параграфов.
В § 2.1 рассматривается обобщенная граничная задаче Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями вида
<«]=Дч №)>?; (1) - В^« 1' Ц.Ь,- м , (5)

Пусть задача (2.3.2) имеет исчезающее на бесконечности решение ^(20 , и введем обозначение:
Ч" («=>?(«. (2.3.36)
Тогда (сы.§ 2.1) граничная задача (2.3.2) приводится к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений:
[- Жіо) + Е^ ^ [сСС4<>1- В>С4о)^ + І”
І-ІО
Е- сбЧі) '
оЦ-Ю-сЦЬ)
р[сС(і")]еіі +-4-І= (2.3.37)
Ц(С і 4.-‘Ьо
Учитывая, что любое решение ^(і) системы (2.3.37) (если оно существует) представляет собой граничное значение голоморфного в области £Г и исчезающего на бесконечности вектора ^ систему (2.3.37) можно переписать тэк:
Л (Ео)+ Е] ^[сЄ(іо)| + Ж^
Л (і)

Є■ об Сі)
ОІ(І)- оіСіо)
Вен1* В (іо) £’и)
(2.3.38)
і-іо
)ЬСО- £>(-Ьо)
Так что любое решение системы (2.3.37) представляет собой и решение системы (2.3.38). Допустим теперь, что ^(4) - какоелибо решение системы (2.3.38) и рассмотрим кусочно-голоморфный вектор им» > определенный формулой:
<АіОО=і- (—^—СІ4 при ,
> Х-Ъ '
»і і-*
(2.3.39)
при ъь Ъ~