Разделимость операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируемыми компонентами

• Автор: Шодиев, Махмад Султонович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 90 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава I. РАЗДЕЛИМОСТЬ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ в пространстве ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ С ВЗВЕШЕННО-СУММИРУЕМЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
§1.1. Некоторые сведения и обозначения
§1.2. Теорема о разделимости оператора ІІІтурма-Лиувилля.. 19 §1.3. Условия сзоцествования непрерывного обратного
оператора
§1.4. Об условиях т-аккретивности и т-сектриальности матричного оператора Штурма-Лиувилля
Глава II. разделимость оператора шредннгера
§2.1. Разделимость нелинейного оператора Щредингера
§2.2. Некоторые вспомогательные леммы и неравенства
§2.3. Разрешимость уравнения Ау = / и разделимость оператора Щредингера в пространстве IIк в общем случае
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию разделимости эллиптических операторов второго порядка с матричными коэффициентами в пространстве Ьрф{й)1, где р е [1, +оо), к(х)~ весовая функция, -произвольное открытое множество в Rn, I-натуральное число.
Термин ”разделимость” впервые был введен английскими математиками В.Н.Овериттом и М.Гирцом (Everitt W.N., Giertz М.) в их фундаментальной работе [2]. В своих работах [2—5] они достаточно подробно изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля
Ау = -y"{t) + q(t)y(t) (*)
и его степеней. В работе Бойматова К.Х. [22] разделимость оператора Штурма-Лиувилля получена без требования какой-либо гладкости на потенциал q(t). Отелбаев М. [40] исследовал разделимость оператора. А(-) в весовом пространстве Ь2)й(/), где I-открытый отрезок вещественной оси. Разделимость оператора Штурма-Лиувил ля с нелинейным потенциалом у (ж, jyj) в пространстве L%{—оо, +оо) получена в работе Амановой Т.Т., Муротбекова М.Б. [15]. В работе Гриншпуна Э.З., Отелбаева М. [32] исследована разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля в пространстве Ai(—оо,+оо). Разделимость обыкновенных дифференциальных операторов, более сложных, чем оператор (*), получепа в работах Абудова A.A. [12], Алиева Б.И, Исмоилова С.М. [13], Амоловой Т.Т. [14], Амоповой Т.Т., Муратбекова М.Б. [15], Базарбаевой Л.Ё. [17], Биргебаева А. [19], Биргебаева А., Отелбаева М. [20], Бойматова К.Х., Шарифова А. [31], Гриншпуна 0.3. [33], йсхокова С.А. [34], Отелбаева М. [41], Эверитта В.H., Гирца М. [6—8], Аткинсона Ф.В. (Atcimon F.V.) [1],
Эванса В.Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl A.) [10], Цеттла A. [1.1] и других. В работах [12, 13, 18, 31] рассмотрены дифференциальные выражения с операторными коэффициентами.
Разделимость для дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовались в работе Бойматова К.Х. [23] и далее в работах [24-30, 39-44]. В большинстве из этих работ рассматривается оператор Шредингера
Аи = -A u{i) + q(t)u(t). (**)
В работе Ойнарова Р. [39] исследуется разделимость оператора А в пространстве суммируемых функций Li(Rri). В работах Бойматова К.Х. [15], Розенблюма, Г.В. [44], Эверитта В.H., Гирца М. [9] изучается разделимость оператора (**) в пространстве L2(R)1. Разделимость дифференциального выражения (**) с операторозначным потенциалом q(t) исследована в работе Шарифова А. [48].
Разделимость общих эллиптических дифференциальных операторов высокого порядка в пространстве L2{R)1 рассматривается в работах Бойматова К.Х. [23-25], Отелбаева М. [42, 43]. В работе Бойматова, К.Х. [27] изучается -разделимость (т.е. разделимость в пространствах типа L2) дифференциальных операторов (не обязательно эллиптических), заданных в произвольном открытом множестве О С Rn.
Разделимость дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах Lp(fl) (1 < р < +оо) исследована недостаточно полно. В этом случае имеются лишь отдельные работы Бойматова К.Х. [28-30]. В работе Биргебаева А. [21] исследуется разделимость оператора Шредингера (**) с матричным потенциалом в пространстве Lv{Vtf. Однако требуется, чтобы все
( Так как (у, у) — Цу||2 > 0, поэтому
((?(*) + А1)у,у) = ((Ао + АД)у,у) + (у", у) - А(у,у)
Де ((д(<) + А/)у,у) - Де ((А0 + ХЕ)у,у) + (у",у) - Де (у,у). Так как (у",у) < 0 и ДеА > О, поэтому
Де ((у(4) + А/)(й - У]), (У1 - У;)) <
< Де ((А,) + АД)(у,; - уу), (у{ - уу)) <
< |(Ао + АЕ)(у; - уу)| |уг - уу|.
Учитывая неравенство (1.3.4), получим
О*-1 + Де А) !уг - Уу|2 < ](Ао + АД) (у, - уу)| - |у» - уу|,
то есть
(у-1 + ДеА) ]уг - уу] < |(Ао + АД)(уг - уу)|,

Уг - %) < (/Д1 + ДеА)-1 !(А0 + АД)(уг- - уу)|.
Так как (А0 + АД)(у; - уу) -+ 0, поэтому ]у* - уу| -г- 0, т.е. у! фундаментально в Я и уу у. Поскольку (А0 + АД)у, —► Д(г
то имеем