Глобальная разрешимость и двухмасштабное усреднение системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского

• Автор: Гошев, Иван Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 132 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. ОПЕРАТОР

ПРАНДТЛЯ-ИШЛИНСКОГО

§1.1. Обозначения и вспомогательные результаты

§ 1.2. Некоторые свойства решений одномерных линейных параболических задач

§ 1.3. Оператор Прандтля-Ишлинского и его свойства

ГЛАВА 2. ГЛОБАЛЬНАЯ ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ИШЛИНСКОГО

§2.1. Постановка задач

§ 2.2. Формулировка основных результатов

§ 2.3. Полудискретный метод решения задач
§2.4. Вывод априорных оценок и существование приближенных
решений
§2.5. Предельный переход
§2.6. Доказательство теоремы о единственности решения задачи
ГЛАВА 3. ОБОСНОВАНИЕ ДВУХМАСШТАБНОГО УСРЕДНЕНИЯ
§3.1. Обозначения и вспомогательные утверждения
§ 3.2. Задача Р, с быстро осциллирующими данными
§ 3.3. Двухмасштабная усредненная задача Р„
§ 3.4. Предельная связь между решениями задач Р£, и Рщ

ГЛАВА 4. ГЛОБАЛЬНАЯ ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ
ДВУХМАСШТАБНОЙ УСРЕДНЕННОЙ ЗАДАЧИ
§4.1. Обозначения и вспомогательные утверждения
§ 4.2. Постановка задач. Теоремы о существовании и единственности решения
§ 4.3. Полудискретный метод решения задач
§4.4. Вывод априорных оценок. Существование приближенных решений
§4.5. Предельный переход
§4.6. Доказательство теоремы о единственности решения задачи
ГЛАВА 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА ИШЛИНСКОГО
§5.1. Дополнительные условия на данные задач Рт
§5.2. Теоремы о дополнительной гладкости решения задачи Рт
ГЛАВА 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ДВУХМАСШТАБНОЙ УСРЕДНЕННОЙ ЗАДАЧИ
§6.1. Дополнительные условия на данные задач Рт
§ 6.2. Теоремы о дополнительной гладкости решения задачи Рт
ГЛАВА 7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДВУХМАСШТАБНОГО
УСРЕДНЕНИЯ
§7.1. Обозначения и вспомогательные утверждения
§7.2. Теорема об оценке усреднения
§7.3. Доказательство теоремы об оценках усреднения
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Исследованию моделей движения вязкой сжимаемой среды посвящено большое число работ. Значительный интерес к ним обусловлен многообразием постановок, сложностью их решения и многочисленными приложениями.
Достаточно полная теория глобальной по времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты х и времени t. В 1968 г. Я.И. Канель [27] впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [41], [42] и А. Тани [51].
Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова [16], [23], [24], и его учеников В.В.Шелухипа [26], В.В.Николаева [25]. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T.Nagasawa [46], [47], S.Kawashima и T.Nishida [43]. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А.В.Кажиховым, В.Б.Николаевым,
S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями

Лемма 1.13. Если (s°,e,/j) Є Lipj(R+) х Wl(ü,T) x Мі(Ш+), то J[s0, Є, /Li] Є ІУДСТ), причем
DtT[s°, e,p](t) < |м(0)| Dte(t) для п.в. t Є (О,Т). (1-45)
При описании деформаций неоднородного материала Ишлинского данные s°, е и р дополнительно зависят от пространственной переменой х Є П. В этом случае оператор Праидтля-Ишлинского принимает вид

е, /х](сс, i) = /5г[зДт,г),е(д-)](і)Дщ(:г,г)
Лемма 1.14. Пусть {s°,e,p) є Ш(Е; D(E)). где Е = 12, J пли Q х Тогда E[s°,e,p] Є Ш(Е- С[0,Т]). Если (.s°,e,p) Є Ж(Е; DN{E)), то E[s°,e,p] Є До(£;С[0,Т]), причем
|1[Де, p]\l(E-,C[0,T}) < ІІДІІІЮ(В;Ь1(К+)) < N. (1-46)
Доказательство. В силу следствия 1.4 оператор Т : D(E) —> С[0, Г] непрерывен. Поэтому в силу леммы 1.5 имеем E[s°,e,p] Є VJl(E; С'[0,Т]). Если дополнительно ||д]|ьоо(В;Л1(К+)) < N, то из оценки (1.41) следует-, что E[s°,e,p] Є Loe(£l; (?[(), Т]) н справедлива оценка (1.46).
Теорема 1.6. Пусть з0 Є Д30(!і2;ІЛр1(К+)), е є Ьо(П; С[0, Т]), Dte Є L2(Q), Р Є L00(fü;M1(M'1’)). Тогда E[s°,e,p] є І-оо(П; С [О, Т]), DtE[s°,e,p Є L2{Q), причем
DtE{s°,e,p]{x,t) < ßoDte(x,t) для ii.u. (x,t) Є Q, (1.47)
где p0 = Ц/л(-, 0)||іоо(п).
Доказательство. Из леммы 1.14 и леммы 1.13 ясно, что T-’fs0, е,ц] g Є Тоо(П; С[0,Т]) и существует функция DtT[s°, е, р]{х, ) Є Ь2(0,Т) дЛя