Анализ природы обобщенных решений для некоторых классов краевых задач

• Автор: Ларин, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 98 с.

Глава I. Системы Чебышева и их свойства. Предварительные
сведения
§1.1. Определение и простейшие свойства систем
Чебышева
§1.2. Примеры Г-систем
§1.3. О кратности нулей негладких функций. База точки
§1.4. М-системы. Чебышевское пространство. М-свойство
базы
Глава II. Об относительном дифференцировании по многоступенчатым мерам, порождаемым системой Чебышева
§2.1. Теорема Крейна-Рутмана об интегральном представлении
систем Маркова
§2.2. Теорема об интегральном представлении систем
Маркова
§2.3. Доказательство теоремы об интегральном
представлении
Глава III. Псевдодифференциальные неравенства
§3.1. ^Г-свойства полиномов по системам Чебышева
§3.2. О распределении нулей зЕТ-продолжения
§3.3. Случай многоопорной балки (переопределенная задача
Валле Пуссена)
§3.4. Слабое продолжение Г-системы
Литература
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Возможность представления обыкновенного дифференциального оператора
Ьи = ро^”+1^ + Н -рп+и
в факторизованном виде
Ьи = К+1 ‘'О) ’ (1)
чрезвычайно важна в самых разных разделах анализа и его приложений. Например, в цикле работ 30-х гг XX века М. Г. Крейн, исследуя осцил-ляционные спектральные свойства для операторов старших порядков, сразу предлагал их заданными в виде (1). Впервые для уравнения второго порядка возможность такого представления установил и использовал Пуанкаре. Общий вид операторов Л; (ж) в (1) предъявлен Фробениусом по фундаментальной системе решений уравнения
Ьи = 0. (2)
Если (ро, <р1, ..., (рп — некоторая фундаментальная система решений (2), то
Ао(<) = ИЩ^о) = Ы*), МО
п~2) (к=2 п),
[уу<Ро,
где Ут = IV(<ра. ..., (рт) — определители Вронского.
Однако, это чисто формальное представление не обеспечивало регулярности, так как в стороне оставался вопрос об отсутствии нулей у всех вронскианов ИД. О. Д. Келлог (см. [18-20])и Г. Пойа ([34,35]) независимо

друг от друга обосновали представление (1) с непрерывными коэффициентами, связав это обоснование со свойством неосцилляции оператора Ь: оператор Ь (вместе с уравнением Ьи — 0) называют неосциллирующим на отрезке [а,Ь], если любое его нетривиальное решение имеет не более (п + 1) нуля с учетом кратностей. Свойство неосцилляции достаточно исчерпывающим образом исследовано в работах А. Ю. Левина, Ф. Хартмана и др. (см. [22,38]) в связи с различными вопросами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (60-80-е гг XX в.).
Если для исходной достаточно гладкой системы {^г}о соответствующие детерминанты \гк не имеют нулей, то эта система Ф* = является при каждом к системой Чебышева. Это обстоятельство послужило отправным в классической теории Маркова по проблеме моментов. Возможность распространения теории Маркова на более общие классы функций (без предположения об их гладкости) исследовалась в серии работ М. Г. Крейна и его учеников. В конечном счете им удалось установить аналог представления (1) в виде
<1 <1 (1 (I
йх<1рп-(1рп-2 Фо где меры ра, рх, ..., /?„_ 1 порождены исходной системой Чебышева Ф = {<£>,}() непрерывных функций, причем, система Ф называлась фундаментальной системой решений уравнения Ьи = 0. При этом /ц.(£) были непрерывными справа монотонными функциями, и относительные производные в каждой точке были правыми.
Ясно, что представление (3) чрезвычайно интересно (и важно) для анализа уравнений с самыми различными особенностями. Однако оказалось, что это представление, вообще говоря, неверно.

каждой точки t из В,
h(t)
(s)
yi{t)=Vo(t) j dpi(s
h{c) h{t) «j
yz(t) = Vo{t) II dp2(s2)dpi(si),
h[c) h{c)
Ч1) si s»-i
Vn{t) =yo{t) J J ••• J dpn(sn)dpn_1(sn^l) • ■ • dpi(sx).
h(c) h(c) h(c)
Оказывается, эта теорема неверна. Для построения контрпримера использовалась специальная техника, представленная в [2]. Она основана на введении понятия дефекта нерегулярной точки, в которой функции исходной системы Чебышева теряют гладкость, т. е. в которой не определена обычная производная функций Г-системы
{и0(£), un(t)}
(по крайней мере, до нужного порядка).
Заметим, что в статье Р. А. Жалика интегралы, входящие в (21), следует понимать как интегралы Лебега-Стилтьеса. Это, в частности, и будет использовано в дальнейшем для доказательства ошибочности его результата.
Для опровержения результата Р. А. Жалика используется система