Управляемость в нелинейных параболических задачах

• Автор: Акпата Эдуард
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Содержание
Введение
1 О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§1 Предварительные сведения. Обозначения
§2 Формулировка основного результата
§3 Строгая дифференцируемость оператора Немыцкого
§4 Завершение доказательства основного результата
2 О ЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ
§1 Предварительные сведения, Обозначения
§2 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи
§3 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи
§4 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи
Библиография

Введение
В диссертации исследуется локальная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для квазилинейного уравнения теплопроводности. Эту задачу можно трактовать как задачу управляемости, в которой управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных.
Актуальность темы
Задачи управляемости для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связанно, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с

другой (подчас, не менее сложной) стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью. Диссертация посвящена одному из таких вопросов. Изложение естественным образом разделено на две части. В первой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с помощью удобного приема двукратного применения обычной теоремы об обратной функции: в одном случае -для прямой задачи, а в другом - для обратной задачи с использованием результатов Костина и Прилепко по линейной обратной задаче. Ограничения на нелинейный член связаны с размерностью. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат первой главы носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй главе на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рас-

Из (2.23) и (2.24) следует, что
[UQt } 62С||и + shfut + sht{2h2 dsdxdt) +
+Uqt |з2С||м + shAh}dsdxdt)f <
< [(62CCy_>L 'CV-*Wi{QT)r4 WhWv)* + (&ClCyLlQ{QT)Cw$->L{QT)' CV->w2(QT)r4\h\v)2?
= {6CACLlo{QT)Cwi(QT)Lu(QT)CV-+wi(QT)r2\h\v+
+ЗС4С2 -4L10(QT)W2 (Qt)-»£ W (<3t) Cv-*W2{Qt) r2 II II )2
= {C4CLlo(QT)CwQT)L{QTCvW2{QT)r2\h\v)2.
Тогда
Ilf (i/(u + h) - («))||2 < $4(r)\h\v, где

??4(r) = 9C4CvLm{QT)Cwi{QT)L(QT)CvW2{QT]r
Отсюда следует, что
IIv{u + h) - v{u)\ш°лЛдт) < h{r)\h\v,

(2.25)
(2.26)
d4(r) = d4(r) + d4(r) = 3 C4CL5iQT)CvLwiQT)r2+ + C4ClLio{QT)Cwi[QT)L{QT)CvW2{QT)r‘1.
(2.27)